Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

4

3

x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．
（1）直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并求直線AB與CD交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒

5

3

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求t的值；
②點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，問(wèn)BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）讓y=0求得x的值可得A的坐標(biāo)，（0，b）為B的坐標(biāo)，讓y=

b

2

可得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入直線解析式可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）由△AMN∽△ABO，得出△MPH的面積，再利用由△HPE∽△HFM，表示出△PEH的面積，即可得出答案．
（3）當(dāng)點(diǎn)C，H，Q在同一直線上時(shí)，CH+HQ的值最小，利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）A（-3，0），B（0，4）．（1分）
當(dāng)y=2時(shí)，

4

3

x+4=2，x=-

3

2

．
所以直線AB與CD交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-

3

2

，2)．（2分）

（2）①當(dāng)0＜t＜

3

2

時(shí)，△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即△MPH的面積．
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA，垂足為N．
由△AMN∽△ABO，得

AN

AO

=

AM

AB

．
∵AO=3，BO=4，
∴AB=

32+42

=5，
∴

AN

3

=

5 3 t

5

．
∴AN=t．（4分）
∴△MPH的面積為

1

2

×2(3-t-t)=3-2t．
當(dāng)3-2t=1時(shí)，t=1．（5分）
當(dāng)

3

2

＜t≤3時(shí)，設(shè)MH與CD相交于點(diǎn)E，
△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即△PEH的面積．
過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AO于G，MF⊥HP交HP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
FM=AG-AH=AM×cos∠BAO-（AO-HO）=

5

3

t×

3

5

-(3-t)=2t-3．
HF=GM=AM×sin∠BAO=

5

3

t×

4

5

=

4

3

t．
由△HPE∽△HFM，得

PE

FM

=

HP

HF

．
∴

PE

2t-3

=

2

4 3 t

．
∴PE=

6t-9

2t

．（8分）
∴△PEH的面積為

1

2

×2×

6t-9

2t

=

6t-9

2t

．
當(dāng)

6t-9

2t

=1時(shí)，t=

9

4

．
經(jīng)檢驗(yàn)，t=

9

4

是原方程的解，
綜上所述，若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，t為1或

9

4

．（9分）
②BP+PH+HQ有最小值．
連接PB，CH，則四邊形PHCB是平行四邊形．
∴BP=CH．
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2．
當(dāng)點(diǎn)C，H，Q在同一直線上時(shí)，CH+HQ的值最�。�（11分）
∵點(diǎn)C，Q的坐標(biāo)分別為（0，2），（-6，-4），
∴直線CQ的解析式為y=x+2，
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-2，0）．因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，分析時(shí)注意不要漏解．