Question

19．如圖，在直角坐標(biāo)系中，一條拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中B（3，0），C（0，4），點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，OC=4OA；
（1）求這條拋物線的解析式，并求出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AC、BC，點(diǎn)P是x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥BC交射線AC于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)CP，若△CPM的面積為2，則請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OA與OC的關(guān)系，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得PH的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得MC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵C（0，4），O（0，0），
∴OC=4．
∵OC=4OA，
∴OA=1．
∵點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，
∴A（-1，0）．
設(shè)這條拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過點(diǎn) A（-1，0），B（3，0），C（0，4）
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{3}\\ b=\frac{8}{3}\\ c=4\end{array}\right.$，
∴這條拋物線的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4，
它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{16}{3}$）；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥AC，垂足為H．


∵P點(diǎn)在x軸的正半軸上，
∴設(shè)P（x，0）．
∵A（-1，0），
∴PA=x+1．
∵在Rt△AOC中，OA²+OC²=AC²
又∵OA=1，OC=4，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵∠AOC=90°，
∴sin∠CAO=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{4}{\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$
∵∠PHA=90°，
∴sin∠CAO=$\frac{PH}{AP}$=$\frac{PH}{x+1}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$
∴PH=$\frac{4\sqrt{17}（x+1）}{17}$．
∵PM∥BC，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{CM}{AC}$
∵B（3，0），P（x，0）
①點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，BP=3-x
∴$\frac{3-x}{4}$=$\frac{CM}{\sqrt{17}}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$．
∵S_△PCM=2，
∴$\frac{1}{2}$CM•PH=2，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$•$\frac{4\sqrt{17}（x+1）}{17}$=2．
解得x=1．
∴P（1，0）；
②點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，BP=x-3
∴$\frac{x-3}{4}$=$\frac{CM}{\sqrt{17}}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$，
∵S_△PCM=2，
∴$\frac{1}{2}$CM•PH=2，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$•$\frac{4\sqrt{17}（x+1）}{17}$=2．
解得x₁=1+2$\sqrt{2}$，x₂=1-2$\sqrt{2}$（不合題意，舍去）
∴P（$1+2\sqrt{2}$，0）．
綜上所述，P的坐標(biāo)為（1，0）或（$1+2\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用銳角三角函數(shù)得出PH的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵，又利用相似三角形的性質(zhì)得出CM的長(zhǎng)，利用三角形的面積得出關(guān)于x的方程．