【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(﹣2,0),點B(4,0),點D(2,4),與y軸交于點C,作直線BC,連接AC,CD.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)E是拋物線上的點,求滿足∠ECD=∠ACO的點E的坐標;
(3)點M在y軸上且位于點C上方,點N在直線BC上,點P為第一象限內(nèi)拋物線上一點,若以點C,M,N,P為頂點的四邊形是菱形,求菱形的邊長.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)點E的坐標為(1,),(3,);(3)菱形的邊長為4﹣4.
【解析】
試題分析:(1)把點A(﹣2,0),點B(4,0),點D(2,4)代入y=ax2+bx+c,用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可.(2)分點E在直線CD上方的拋物線上和點E在直線CD下方的拋物線上兩種情況,用三角函數(shù)求解即可;(3)分CM為菱形的邊和CM為菱形的對角線兩種情況,用菱形的性質(zhì)進行計算即可.
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(﹣2,0),點B(4,0),點D(2,4),
∴設拋物線解析式為y=a(x+2)(x﹣4),
∴﹣8a=4,
∴a=﹣,
∴拋物線解析式為y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;
(2)如圖1,
①點E在直線CD上方的拋物線上,記E′,
連接CE′,過E′作E′F′⊥CD,垂足為F′,
由(1)知,OC=4,
∵∠ACO=∠E′CF′,
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,
∴=,
設線段E′F′=h,則CF′=2h,
∴點E′(2h,h+4)
∵點E′在拋物線上,
∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,
∴h=0(舍)h=
∴E′(1,),
②點E在直線CD下方的拋物線上,記E,
同①的方法得,E(3,),
點E的坐標為(1,),(3,)
(3)①CM為菱形的邊,如圖2,
在第一象限內(nèi)取點P′,過點
P′作P′N′∥y軸,交BC于N′,過點P′作P′M′∥BC,
交y軸于M′,
∴四邊形CM′P′N′是平行四邊形,
∵四邊形CM′P′N′是菱形,
∴P′M′=P′N′,
過點P′作P′Q′⊥y軸,垂足為Q′,
∵OC=OB,∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°,
∴∠P′M′C=45°,
設點P′(m,﹣m2+m+4),
在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m,
∵B(4,0),C(0,4),
∴直線BC的解析式為y=﹣x+4,
∵P′N′∥y軸,
∴N′(m,﹣m+4),
∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,
∴m=﹣m2+2m,
∴m=0(舍)或m=4﹣2,
菱形CM′P′N′的邊長為(4﹣2)=4﹣4.
②CM為菱形的對角線,如圖3,
在第一象限內(nèi)拋物線上取點P,過點P作PM∥BC,
交y軸于點M,連接CP,過點M作MN∥CP,交BC于N,
∴四邊形CPMN是平行四邊形,連接PN交CM于點Q,
∵四邊形CPMN是菱形,
∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,
∵∠OCB=45°,
∴∠NCQ=45°,
∴∠PCQ=45°,
∴∠CPQ=∠PCQ=45°,
∴PQ=CQ,
設點P(n,﹣n2+n+4),
∴CQ=n,OQ=n+2,
∴n+4=﹣n2+n+4,
∴n=0(舍),
∴此種情況不存在.
∴菱形的邊長為4﹣4.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀材料,解決問題:
明明家準備裝修房子,房子的部分平面圖如圖1所示.為了增大房子的使用空間,爸爸想把現(xiàn)在兩間臥室之間的非承重墻打掉,之后在打掉的位置做一排衣柜.
爸爸說:“我想測量一下非承重墻的厚度,從而知道打掉這堵墻后可以騰出多少空間.我手里有的工具是教學用量角器、大刻度尺,明明,你幫助爸爸看看應該怎樣測量.”
“這堵墻的厚度處處相等嗎?”明明說.
爸爸說:“這個沒問題,當年收房的時候我就考察過.”
“那我就可以在地面上直接進行測量了.我再問您,每個房間中地面和墻的交線都是垂直或平行的嗎?”明明說.
爸爸回答:“是的”.
“那就簡單了.我們倆先測出客廳的東西向?qū)挾龋贉y出每個臥室的東西向?qū)挾,用客廳的寬度減去兩個臥室的寬度就是中間這堵非承重墻的厚度.”明明說.
爸爸說:“那不行,客廳和臥室的家具擺得滿滿的,東西向?qū)挾让銖姕y到也不準確.你能不能在不借助測量房間寬度或房間內(nèi)其它家具的前提下,設計一個通過測量和計算得到非承重墻厚度的方案.”
圖1 圖2
請你利用學到的三角形或四邊形的知識幫助明明解決此問題.
要求:(1)在圖2中畫出測量時用到的示意圖,圖形要規(guī)范;
(2)簡要敘述測量過程;
(3)寫出測量的依據(jù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有這樣一個問題:探究函數(shù)的圖象與性質(zhì).小美根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究.下面是小美的探究過程,請補充完整:
(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是___________;
(2)下表是y與x的幾組對應值.m的值為 ;
x | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | ||||
y | 0 | -1 | m | … |
(3)如下圖,在平面直角坐標系xOy中,描出了以上表中各對對應值為坐標的點.根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(4)結(jié)合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì): .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+1經(jīng)過點A(4,﹣3),頂點為點B,點P為拋物線上的一個動點,l是過點(0,2)且垂直于y軸的直線,過P作PH⊥l,垂足為H,連接PO.
(1)求拋物線的解析式,并寫出其頂點B的坐標;
(2)①當P點運動到A點處時,計算:PO= ,PH= ,由此發(fā)現(xiàn),PO PH(填“>”、“<”或“=”);
②當P點在拋物線上運動時,猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖2,設點C(1,﹣2),問是否存在點P,使得以P,O,H為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
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