Question

6．若A（0，a）、B（b，0），且a、b滿足4a²-2ab+b²-12a+12=0．
（1）求A、B的坐標．
（2）如圖1，點D在線段AO上運動（不與點A、O重合），以BD為腰向下作等腰直角△BDE，∠DBE=90°，連接AE交BO于M，求$\frac{AD}{OM}$的值．
（3）如圖2，點D在y軸上運動，以BD為腰向下作等腰直角△BDE，∠DBE=90°，K為DE中點，T為OB中點，當(dāng)線段KT最短時，求此時D點坐標．

Answer 1

分析 （1）先配方，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)即可解決．
（2）如圖1中，作EG⊥OB于G，先證明△DBO≌△BEG，得DO=BG，BO=EG，推出AD=OG，再證明△AOM≌△EGM得OM=MG，由此可以解決問題．
（3）如圖3中，過點B作x軸的垂線交DT于H，連接EH，先證明△DOT≌△HBT得DO=BH=BM，DT=TH，再證明△DBM≌△EBH，DM=EH，結(jié)合條件推出TK=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$DM，欲求TK的最小值，只要求出DM的最小值，設(shè)OP=x，則OM=2-x，DM=$\sqrt{{x}^{2}+（2-x）^{2}}$=$\sqrt{2（x-1）^{2}+2}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 （1）解：∵4a²-2ab+b²-12a+12=0，
∴（a-b）²+3（a-2）²=0，
∵（a-b）²≥0，3（a-2）²≥0，
∴a=b=2，
∴點A坐標（0，2），點B坐標（2，0）．
（2）解：如圖1中，作EG⊥OB于G，
∵△BDE為等腰直角三角形，∠DBE=90°，
∴BD=BE，∠DBO+∠OBE=90°，
∵EG⊥BO，
∴∠OBE+∠BEG=90°，
∴∠DBO=∠BEG，
在△DBO和△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOB=∠EGM}\\{∠OBD=∠BEG}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△DBO≌△BEG，
∴DO=BG，BO=EG，
∵AO=BO，
∴AO=EG，AD=OG，
在△AOM和△EGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOM=∠EGM}\\{∠AMO=∠EMG}\\{AO=EG}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△EGM，
∴OM=MG，
∴$\frac{OM}{AD}$=2．
（3）解：如圖3中，過點B作x軸的垂線交DT于H，連接EH，
在△DOT和△HBT中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOT=∠HBT}\\{∠DTO=∠HTB}\\{OT=TB}\end{array}\right.$，
∴△DOT≌△HBT，
∴DO=BH=BM，DT=TH，
∵∠DBE=∠OBH，
∴∠DBM=∠EBH，
在△DBM和△EBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=EB}\\{∠DBM=∠EBH}\\{BM=BH}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△EBH，
∴DM=EH，
∵DK=KE，DT=TH，
∴TK=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$DM，
∵DO+OM=2，設(shè)OP=x，則OM=2-x，DM=$\sqrt{{x}^{2}+（2-x）^{2}}$=$\sqrt{2（x-1）^{2}+2}$，
∴x=1時，DM最小即TK最小，此時點D坐標（0，1）．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性比較強，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，最小值問題想到用二次函數(shù)解決，屬于中考壓軸題．