Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為a（-6，0），B（2，0），C（0，3）．
（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式．
（2）過(guò)C點(diǎn)作CD平行于x軸交拋物線于點(diǎn)D，求D的坐標(biāo)．
（3）若拋物線的頂點(diǎn)為P，連結(jié)PC、PD，試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在著點(diǎn)E，使得四邊形CEDP為菱形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3），可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+3（a≠0），再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先由CD平行于x軸，得出D_縱=C_縱=3，再將y=3代入拋物線的解析式，求出x的值，得到D_橫=-4，即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上取點(diǎn)E（-2，2），連結(jié)CE、DE，設(shè)PE交CD于F，則PE是CD的垂直平分線，再證明PF=EF=1，根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得到四邊形CEDP是菱形．

解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3），
∴可設(shè)經(jīng)過(guò)A（-6，0），B（2，0），C（0，3）三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+3（a≠0），
將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

36a-6b+3=0 4a+2b+3=0

，
解得

a=- 1 4 b=-1

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²-x+3；

（2）∵CD平行于x軸，
∴D_縱=C_縱=3，
當(dāng)y=3時(shí)，-

1

4

x²-x+3=3，
解得x₁=0，x₂=-4，
∴D_橫=-4，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，3）；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上存在著點(diǎn)E（-2，2），能夠使得四邊形CEDP為菱形．理由如下：
∵y=-

1

4

x²-x+3=-

1

4

（x²+4x+4）+1+3=-

1

4

（x+2）²+4，
∴對(duì)稱軸為直線x=-2，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，4）．
在拋物線的對(duì)稱軸上取點(diǎn)E（-2，2），連結(jié)CE、DE，設(shè)PE交CD于F，則PE是CD的垂直平分線，
∴CD⊥PE，CF=FD，F(xiàn)（-2，3），
∵P（-2，4），E（-2，2），
∴PF=EF=1，
∴四邊形CEDP是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)解析式的確定、平行于x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求法以及菱形的判定方法，難度不大，細(xì)心求解即可．