Question

已知,矩形中,,,的垂直平分線分別交、于點、,垂足為.

   (1)如圖1,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長；

(2)如圖2,動點、分別從、兩點同時出發(fā),沿和各邊勻速運動一周.即點自→→→停止,點自→→→停止.在運動過程中,

①已知點的速度為每秒5,點的速度為每秒4,運動時間為秒,當、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求的值.

②若點、的運動路程分別為、(單位:,),已知、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數量關系式.

 

Answer 1

(1)證明:①∵四邊形是矩形

∴∥

∴,

∵垂直平分,垂足為

∴

∴≌

∴

∴四邊形為平行四邊形

又∵

∴四邊形為菱形

②設菱形的邊長,則

在中,

由勾股定理得,解得

∴

(2)①顯然當點在上時,點在上,此時、、、四點不可能構成平行四邊形;同理點在上時,點在或上,也不能構成平行四邊形.因此只有當點在上、點在上時,才能構成平行四邊形

     ∴以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,

∵點的速度為每秒5,點的速度為每秒4,運動時間為秒

∴,

∴,解得

∴以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,秒.

②由題意得,以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,點、在互相平行的對應邊上.

分三種情況:

i)如圖1,當點在上、點在上時,,即,得

ii)如圖2,當點在上、點在上時,, 即,得

iii)如圖3,當點在上、點在上時,,即,得

綜上所述,與滿足的數量關系式是