Question

8．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的圖象與直線y=4x相交于點(diǎn)C，過直線上點(diǎn)A（2，8）作AB垂直于x軸于點(diǎn)B，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，且AD=3BD．
（1）求k的值；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到C、D兩點(diǎn)距離之和PC+PD最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A坐標(biāo)，以及AD=3BD求出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值；
（2）直線y=3x與反比例解析式聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于P，則P點(diǎn)即為所求，利用待定系數(shù)法求出直線C′D的解析式，進(jìn)而可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵A（2，8），
∴AB=8，OB=2，
∵AD=3BD，
∴BD=2，
∴D（2，2）
將D坐標(biāo)代入反比例解析式得：k=4；

（2）∵由（1）知，k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=4x\\ y=\frac{4}{x}\end{array}\right.$，解得x=±1．
∵x＞0，
∴x=1，
∴C（1，4）；

（3）作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于P，則P點(diǎn)即為所求，
∵C（1，4），
∴C′（-1，4）．
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵D（2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}4=-k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{2}{3}\\ b=\frac{10}{3}\end{array}\right.$，
∴直線C′D的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$，
∴P（0，$\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及直線與反比例的交點(diǎn)求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．