Question

16．如圖（1），拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．[圖（2）、圖（3）為解答備用圖]
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△ABC是否為直角三角形，并給出理由；
（3）在x軸的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出此時(shí)四邊形ABDC的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式；
（2）先計(jì)算出AB=4，AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC是否為直角三角形；
（3）如圖2，連接OD，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)D（t，t²-2t-3），利用四邊形ABDC的面積=S_△AOC+S_△COD+S_△OBD可得四邊形ABDC的面積=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6，配方得到-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
所以拋物線解析式為y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
（2）△ABC不是直角三角形，理由如下：如圖1，
∵AB=3-（-1）=4，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴BC²≠AC²+AB²，
∴△ABC不是直角三角形；
（3）如圖2，連接OD，
設(shè)D（t，t²-2t-3），
四邊形ABDC的面積=S_△AOC+S_△COD+S_△OBD
=$\frac{1}{2}$•3•1+$\frac{1}{2}$•3•t+$\frac{1}{2}$•3•（-t²+2t+3），
=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6
=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，四邊形ABDC的面積最大，最大值為$\frac{75}{8}$．
此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理；會(huì)利用面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式．