【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,點E是直線BC上一點,連接AE,過點CCFAE于點F,連接BF.如圖①,當(dāng)點EBC上時,易證AF﹣CF=BF(不需證明),點ECB的延長線上,如圖②:點EBC的延長線上,如圖③,線段AF,CF,BF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的猜想,并選擇一種情況給予證明.

【答案】證明AF=CF+BF.

如圖②中,結(jié)論:CF﹣AF=BF.理由見解析;②如圖③中,結(jié)論:CF+AF=BF.理由見解析.

【解析】

如圖①中,作BHBFAFH.只要證明BAHBCF,即可解決問題.

①如圖②中,結(jié)論:CF-AF=BF.作BHBFAFH.只要證明BAHBCF,即可解決問題.

②如圖③中,結(jié)論:CF+AF=BF,只要證明BAHBCF,即可解決問題.

證明:如圖①中,作BHBFAFH.

∵∠ABC=FBH,

∴∠FBC=ABH,

∵∠EFC=EBA=90°,

CEF=AEB,

∴∠ECF=EAB,

BAHBCF中,

,

∴△BAH≌△BCF,

AH=CF,BH=BF,

∵∠FBH=90°,

∴△BFH是等腰直角三角形,

FH=BF,

FH=AF﹣AH=AF﹣CF,

AF﹣CF=BF,

AF=CF+BF.

①如圖②中,結(jié)論:CF﹣AF=BF.

理由:作BHBFAFH.

∵∠ABC=FBH,

∴∠FBC=ABH,

∵∠AFC=ABC=90°,

∴∠CEF+FCB=90°,AEB+BAH=90°

∴∠ECF=EAB,

BAHBCF中,

∴△BAH≌△BCF,

AH=CF,BH=BF,

∵∠FBH=90°,

∴△BFH是等腰直角三角形,

FH=BF,

FH=AH﹣AF=CF﹣AF,

CF﹣AF=BF.

②如圖③中,結(jié)論:CF+AF=BF.

理由:作BHBFAFH.

∵∠ABC=FBH,

∴∠FBC=ABH,

∵∠AFC=ABC=90°,

∴∠BCF+BAF=180°,∵∠BAF+BAH=180°

∴∠BCF=BAH,

BAHBCF中,

,

∴△BAH≌△BCF,

AH=CF,BH=BF,

∵∠FBH=90°,

∴△BFH是等腰直角三角形,

FH=BF,

FH=AH+AF=CF+AF,

CF+AF=BF.

練習(xí)冊系列答案
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