Question

如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M是

AE

的中點(diǎn)，OM交AC于點(diǎn)D，∠BOE=60°，cosC=

1

2

，BC=2

3

．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）求證：BC是⊙O的切線；
（3）求MD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)即可得出∠A的度數(shù)．
（2）要證BC是⊙O的切線，只要證明AB⊥BC即可．
（3）根據(jù)切線的性質(zhì)，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求出MD的長(zhǎng)度．

解答：（1）解：∵∠BOE=60°，
∴∠A=

1

2

∠BOE=30°．（2分）

（2）證明：在△ABC中，∵cosC=

1

2

，
∴∠C=60°．（1分）
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC．（2分）
∴BC是⊙O的切線．（3分）

（3）解：∵點(diǎn)M是

AE

的中點(diǎn)，
∴OM⊥AE．（1分）
在Rt△ABC中，∵BC=2

3

，
∴AB=BC•tan60°=2

3

×

3

=6．（2分）
∴OA=

AB

2

=3，
∴OD=

1

2

OA=

3

2

，
∴MD=

3

2

．（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的知識(shí)、切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．