Question

18．如圖所示，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．
（1）過點O作0E⊥BC于點E，連接DE交OC于點F，作FG⊥BC于G點，則△ABC與△FGC是位似圖形嗎？若是，請說出位似中心，并求出位似比；若不是，請說明理由．
（2）連接DG交AC于點H，作HI⊥BC于I，試確定$\frac{CI}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定定理證明△ABC∽△FGC，根據(jù)位似變換的概念和位似中心的概念解答即可，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出兩個三角形的相似比，得到位似比；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可．

解答 解：（1）∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△ABC∽△FGC，
△ABC與△FGC對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行或重合，
∴△ABC與△FGC是位似圖形，位似中心是點C，
∵BO=OD，OE∥CD，
∴$\frac{DC}{OE}$=$\frac{BD}{OB}$=2
∴$\frac{CF}{FO}$=$\frac{DC}{OE}$=2，
∴$\frac{CG}{CE}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{CG}{CB}$=$\frac{1}{3}$，
則△ABC與△FGC的位似比為3；
（2）由（1）得，$\frac{EG}{EC}$=$\frac{1}{3}$，F(xiàn)G∥CD，
∴$\frac{FG}{CD}$=$\frac{EG}{EC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CI}{CG}$=$\frac{CH}{CF}$=$\frac{3}{4}$，又$\frac{CG}{CE}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{CI}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CI}{BC}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查的是位似變換的概念、位似比的計算，相似三角形的判定和性質(zhì)，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．