Question

12．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，解答下列問題：
（1）用含t的代數(shù)式表示：
AP=t，BP=6-t，
BQ=2t，CQ=12-2t；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積等于8cm²？
（3）是否存在t的值，使得△DPQ的面積為31cm²？若存在，請(qǐng)求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）是否存在t的值，使得△DPQ是以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)代數(shù)式的定義列出代數(shù)式即可．
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度表示出長(zhǎng)度和三角形面積公式列出方程．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度表示出長(zhǎng)度和三角形面積公式列出方程；
（4）根據(jù)等腰三角形的判定求出不同情況下的解．

解答 解：（1）設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，AP=t，BP=6-t，BQ=2t，CQ=12-2t；
故答案為：t；6-t；2t；12-2t；
（2）由題意得：$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=8
∴t=2或t=4
∴當(dāng)t=2或t=4時(shí)△PBQ的面積等于8cm²；
（3）由題意得：$6×12-\frac{1}{2}×12×t-\frac{1}{2}×6×（12-2t）-$$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=31
可得：t²-6t+5=0，
∴t=1或t=5
∴當(dāng)t=1或t=5時(shí)△DPQ的面積為31cm²，
（4）①當(dāng)DP=DQ時(shí)，由題意得12²+t²=6²+（12-2t）²，
解得：${t}_{1}=8-2\sqrt{13}，{t}_{2}=8+2\sqrt{13}$（舍去）
②當(dāng)DP=PQ時(shí)，由題意得12²+t²=（6-t）²+（2t）²，
解得${t}_{1}=\frac{3-3\sqrt{13}}{2}（舍去），{t}_{2}=\frac{3+3\sqrt{13}}{2}$（舍去），
③當(dāng)DQ=PQ時(shí)，由題意得6²+（12-2t）²=（6-t）²+（2t）²，
解得${t}_{1}=6\sqrt{13}-18，{t}_{2}=-6\sqrt{13}-18$（舍去），
綜上所述，當(dāng)t為$8-2\sqrt{13}$，或$6\sqrt{13}-18$時(shí)，△PDQ等腰三角形

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積以及等腰三角形的判定定理，能夠熟練掌握矩形的性質(zhì)并能進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的計(jì)算．