Question

2．如圖，以扇形OAB的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），若拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-2＜k＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求出有一個公共點(diǎn)時的k值，即為一個交點(diǎn)時的最大值，再求出拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時的k的值，即為一個交點(diǎn)時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可．

解答 解：由圖可知，∠AOB=45°，
∴直線OA的解析式為y=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+k}\end{array}\right.$消掉y得，
x²-2x+2k=0，
△=b²-4ac=（-2）²-4×1×2k=0，
即k=$\frac{1}{2}$時，拋物線與OA有一個交點(diǎn)，
此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
∴OA=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴交點(diǎn)在線段AO上；
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）時，$\frac{1}{2}$×4+k=0，
解得k=-2，
∴要使拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是-2＜k＜$\frac{1}{2}$．
故答案為：-2＜k＜$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式確定交點(diǎn)個數(shù)的方法，根據(jù)圖形求出有一個交點(diǎn)時的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵．