【題目】如圖,在⊙O的內(nèi)接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,過C作AB的垂線l交⊙O于另一點(diǎn)D,垂足為E.設(shè)P是上異于A,C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),射線AP交l于點(diǎn)F,連接PC與PD,PD交AB于點(diǎn)G.
(1)求證:△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,,求PD的長;
(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)=x,tan∠AFD=y(tǒng),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出x的取值范圍)
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】試題分析:(1)應(yīng)用圓周角定理證明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可證明結(jié)論.
(2)由AC=2BC,設(shè),應(yīng)用勾股定理即可求得BC,AC的長,則由AC=2BC得,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的長,由可知△APB是等腰直角三角形,從而可求得PA的長,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,從而求得DF的長,由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的長.
(3)連接BP,BD,AD,根據(jù)圓的對(duì)稱性,可得,由角的轉(zhuǎn)換可得,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,兩式相乘可得結(jié)果.
試題解析:(1)由APCB內(nèi)接于圓O,得∠FPC=∠B,
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.
∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.
又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.
(2)連接BP,設(shè),∵∠ACB=90°,AB=5,∴.∴.
∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.
∵AB⊥CD,∴.
如圖,連接BP,
∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.
∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.
由(1)△PAC∽△PDF得,即.
∴PD的長為.
(3)如圖,連接BP,BD,AD,
∵AC=2BC,∴根據(jù)圓的對(duì)稱性,得AD=2DB,即.
∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.
∵,∴.
∵△AGP∽△DGB,∴.
∵△AGD∽△PGB,∴.
∴,即.
∵,∴.
∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車共游客租賃使用,假定每輛觀光車一天內(nèi)最多只能出租一次,且每輛車的日租金x(元)是5的倍數(shù).發(fā)現(xiàn)每天的營運(yùn)規(guī)律如下:當(dāng)x不超過100元時(shí),觀光車能全部租出;當(dāng)x超過100元時(shí),每輛車的日租金每增加5元,租出去的觀光車就會(huì)減少1輛.已知所有觀光車每天的管理費(fèi)是1100元.
(1)優(yōu)惠活動(dòng)期間,為使觀光車全部租出且每天的凈收入為正,則每輛車的日租金至少應(yīng)為多少元?(注:凈收入=租車收入﹣管理費(fèi))
(2)當(dāng)每輛車的日租金為多少元時(shí),每天的凈收入最多?
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O.M為AD中點(diǎn),連接CM交BD于點(diǎn)N,且ON=1.
(1)求BD的長;
(2)若△DCN的面積為2,求四邊形ABNM的面積.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=90°,AD=2,AB=6,以AB為直徑的半⊙O 切CD于點(diǎn)E,F(xiàn)為弧BE上一動(dòng)點(diǎn),過F點(diǎn)的直線MN為半⊙O的切線,MN交BC于M,交CD于N,則△MCN的周長為( )
A.9 B.10 C.3 D.2
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【題目】如圖,線段AB與⊙O相切于點(diǎn)C,連接OA,OB,OB交⊙O于點(diǎn)D.已知OA=OB=6 cm,AB=6cm.
(1)求⊙O的半徑;
(2)求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(0,a),B(b,0),C(b,c)三點(diǎn),其中a,b,c滿足關(guān)系式.
(1)求a,b,c的值;
(2)如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P(m,),使四邊形ABOP的面積與三角形ABC的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1cm的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),連接DP,把∠A沿DP折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處.求出當(dāng)△BPA′為直角三角形時(shí),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在橫線上完成下面的證明,并在括號(hào)內(nèi)注明理由.
已知:如圖,∠ABC+∠BGD=180°,∠1=∠2.
求證:EF∥DB.
證明:∵∠ABC+∠BGD=180°,(已知)
∴ .( )
∴∠1=∠3.( )
又∵∠1=∠2,(已知)
∴ .( )
∴EF∥DB.( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=30°,OC為∠AOB內(nèi)部一條射線,點(diǎn)P為射線OC上一點(diǎn),OP=4,點(diǎn)M、N分別為OA、OB邊上動(dòng)點(diǎn),則△MNP周長的最小值為( )
A. B. C. D.
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