如圖,正方形ABCD中,AB=10,點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊AB和BC的中點(diǎn),連接AF和DE相交于點(diǎn)G,GH⊥AD于點(diǎn)H,則下列結(jié)論中正確的是( 。
A、△GDC為等邊三角形
B、∠ADE=∠FCG
C、sin∠DCG=
4
5
D、CG=FG+EG
考點(diǎn):正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)
專題:
分析:根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD,再求出AE=BF,然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=DE,全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAF=∠ADE,然后求出∠AGE=90°,從而得到AF⊥DE,取AD的中點(diǎn)M,連接CM交DE于N,同理可得CM⊥DE,然后求出CM垂直平分DG,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得CG=CD,再根據(jù)垂線段最短可得DG<AD,從而判斷出△GDC不是等邊三角形;利用勾股定理列式求出AF、DE,再利用三角形的面積列式AG,然后求出GF,從而得到FG≠FC,再求出∠ADE≠∠FCG;利用∠GAH的余弦求出AH,再求出HD,過點(diǎn)G作DK⊥CD于K,可得GK=HD,然后利用銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解;分別求出FG、EG,然后計算即可判斷出CG≠FG+EG.
解答:解:如圖,正方形ABCD中,AB=BC=AD=10,
∵點(diǎn)E、F分別是邊AB和BC的中點(diǎn),
∴AE=BF=5,
在△ABF和△DAE中,
AB=AD
∠DAE=∠B=90°
AE=BF

∴△ABF≌△DAE(SAS),
∴AF=DE,∠BAF=∠ADE,
∵∠ADE+∠AED=90°,
∴∠AED+∠BAF=90°,
∴∠AGE=90°,
∴AF⊥DE,
取AD的中點(diǎn)M,連接CM交DE于N,
同理可得CM⊥DE,
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn),F(xiàn)是BC的中點(diǎn),
∴AF∥CM,
∴CM垂直平分DG,
∴CG=CD,
又DG<AD,
∴CD=CG≠DG,
∴△GDC為等邊三角形錯誤,故A選項結(jié)論錯誤;

由勾股定理得,AF=DE=
102+52
=5
5
,
∴S△ADE=
1
2
×5
5
AG=
1
2
×10×5,
解得AG=2
5

∴FG=5
5
-2
5
=3
5
,
∴FG≠FC,
∴∠FGC≠∠FCG,
∵∠FGC=∠GCN=∠DCN=∠ADE,
∴∠ADE≠∠FCG,故B選項結(jié)論錯誤;

∵AH=AGcos∠DAG=AGcos∠AED=2
5
×
5
5
5
=2,
∴HD=AD-AH=10-2=8,
過點(diǎn)G作DK⊥CD于K,可得GK=HD,
∴sin∠DCG=
GK
CG
=
8
10
=
4
5
,故C選項結(jié)論正確;

∵FG=3
5
,
EG=AG•tan∠BAF=2
5
×
5
10
=
5

∴FG+EG=3
5
+
5
=4
5
,
∵CG=10,
∴CG≠FG+EG,故D選項結(jié)論錯誤.
故選C.
點(diǎn)評:本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形,勾股定理的應(yīng)用,綜合性較強(qiáng),熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.
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米/分;
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