Question

如圖，已知：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．試判斷△MEF的形狀？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,矩形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：連接MC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠B=45°，CM=MB=

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AB，CM⊥AB，∠ACM=45°，再判斷出四邊形CEDF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得CF=DE，然后判斷出△BDE是等腰直角三角形，再求出DE=BE，從而得到CF=BE，然后利用“邊角邊”證明△CMF和△BME全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得ME=MF，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CMF=∠BME，再求出∠EMF=90°，從而判定為△MEF是等腰直角三角形．

解答：解：△MEF是等腰直角三角形．
理由如下：連接MC，
∵∠C=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴CM=MB=

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AB，CM⊥AB，∠ACM=45°，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四邊形CEDF是矩形，△BDE是等腰直角三角形，
∴CF=DE，DE=BE，
∴CF=BE，
在△CMF和△BME中，

CM=MB ∠ACM=∠B=45° CF=BE

，
∴△CMF≌△BME（SAS），
∴ME=MF，∠CMF=∠BME，
∴∠EMF=∠CMF+∠CME=∠BME+∠CME=∠CMB=90°，
∴△MEF是等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造成全等三角形是解題的關(guān)鍵．