Question

14．在△ABC中，BD為∠ABC的平分線．
（1）如圖1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求證：△ABC為等邊三角形；
（2）如圖2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求AD的長度；
（3）如圖3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分線OC與BD相交于點O，且OC=AB，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由BD為∠ABC的平分線，得到∠ABC=2∠DBC，等量代換得到∠ABC=∠C，證得AB=AC，即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，截取BE=AB，連接DE，推出△ABD≌△EBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A=∠DEB，AD=ED，由∠A=2∠C，得到∠DEB=2∠C，求出∠C=∠EDB，得到ED=EC即可得到結(jié)論；
（3）過B作BF平分∠DBC交AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BD平分∠ABC，∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，由∠ABC=2∠ACB，得到∠ACB=∠ABD=∠CBD，由角平分線的定義得到∠1=∠3=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠4=∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，推出△OBC≌△FCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=BF，由AB=OC，得到BF=AB等量代換得到∠ABF=∠AFB，求得AB=AF，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵BD為∠ABC的平分線，
∴∠ABC=2∠DBC，
∵∠C=2∠DBC，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）解：如圖2，截取BE=AB，連接DE，在△ABD與△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABD=∠EBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBD，
∴∠A=∠DEB，AD=ED，
∵∠A=2∠C，
∴∠DEB=2∠C，
∵∠DEB=∠C=∠EDB，
∴∠C+∠EDB=2∠C，
∴∠C=∠EDB，
∴ED=EC，
∵AB=4.8，
∴CE=BC-BE=3.2，
∴AD=DE=CE=3.2；

（3）解：過B作BF平分∠DBC交AC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC$，
即∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠ACB=∠ABD=∠CBD，
∵OC平分∠ACB，BF平分∠DBC，
∴∠1=∠3=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠4=∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
在△OBC與△FCB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠ACB}\\{BC=CB}\\{∠2=∠1}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△FCB，
∴OC=BF，
∵AB=OC，
∴BF=AB，
∵∠ABF=∠ABD+∠3，∠AFB=∠ACB+∠1，
∵∠ABD=∠ACB，∠1=∠3，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴AB=BF=AF，
∴△ABF為等邊三角形，
∴∠A=60°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定還想著，角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．