【題目】如圖,在四邊形 ABCD 中,∠BAD=α,∠BCD=180°-α,BD 平分∠ABC.
(1)如圖,若α=90°,根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得 DA=CD,這個性質(zhì)是 ;
(2)問題解決:如圖,求證:AD=CD;
(3)問題拓展:如圖,在等腰△ABC 中,∠BAC=100°,BD 平分∠ABC,求證:BD+AD=BC.
【答案】(1)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答;
(2)作DE⊥BA交BA延長線于E,DF⊥BC于F,證明△DEA≌△DFC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;
(3)在BC時截取BK=BD,連接DK,根據(jù)(2)的結(jié)論得到AD=DK,根據(jù)等腰三角形的判定定理得到KD=KC,結(jié)合圖形證明.
(1)∵BD平分∠ABC,∠BAD=90°,∠BCD=90°,∴DA=DC(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等).
故答案為:角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等;
(2)如圖2,作DE⊥BA交BA延長線于E,DF⊥BC于F.
∵BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF,∴DE=DF.
∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠EAD=180°,∴∠EAD=∠C.
在△DEA和△DFC中,∵,∴△DEA≌△DFC(AAS),∴DA=DC;
(3)如圖,在BC時截取BK=BD,連接DK.
∵AB=AC,∠A=100°,∴∠ABC=∠C=40°.
∵BD平分∠ABC,∴∠DBK∠ABC=20°.
∵BD=BK,∴∠BKD=∠BDK=80°,即∠A+∠BKD=180°,由(2)的結(jié)論得AD=DK.
∵∠BKD=∠C+∠KDC,∴∠KDC=∠C=40°,∴DK=CK,∴AD=DK=CK,∴BD+AD=BK+CK=BC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到矩形AEFG,E點(diǎn)正好落在邊CD上,連接BE,BG,且BG交AE于P.
(1)求證:∠CBE=∠BAE;
(2)求證:PG=PB;
(3)若AB=,BC=3,求出BG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.
(1)如圖1,求證:KE=GE;
(2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=∠ACH,求證:CA∥FE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接CG交AB于點(diǎn)N,若sinE=,AK=,求CN的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,直線l過正方形ABCD的頂點(diǎn)B,點(diǎn)A、C到直線l的距離分別是AE=1,CF=2,則EF長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為線段上一動點(diǎn),分別過點(diǎn)作,,連接.已知,設(shè).
(1)用含的代數(shù)式表示的值;
(2)探究:當(dāng)點(diǎn)滿足什么條件時,的值最小?最小值是多少?
(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,請構(gòu)造圖形求代數(shù)式的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B,與直線l的另一個交點(diǎn)為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請直接寫出“落點(diǎn)”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為調(diào)查學(xué)生的興趣愛好,抽查了部分學(xué)生,并制作了如下表格與條形統(tǒng)計圖:
頻數(shù) | 頻率 | |
體育 | 40 | 0.4 |
科技 | 25 | a |
藝術(shù) | b | 0.15 |
其它 | 20 | 0.2 |
請根據(jù)上圖完成下面題目:
(1)總?cè)藬?shù)為 人,a= ,b= .
(2)請你補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.
(3)若全校有600人,請你估算一下全校喜歡藝術(shù)類學(xué)生的人數(shù)有多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“綠水青山就是金山銀山”,隨著生活水平的提高,人們對飲水品質(zhì)的需求越來越高.孝感市槐蔭公司根據(jù)市場需求代理、兩種型號的凈水器,每臺型凈水器比每臺型凈水器進(jìn)價多200元,用5萬元購進(jìn)型凈水器與用4.5萬元購進(jìn)型凈水器的數(shù)量相等.
(1)求每臺型、型凈水器的進(jìn)價各是多少元;
(2)槐蔭公司計劃購進(jìn)、兩種型號的凈水器共50臺進(jìn)行試銷,其中型凈水器為臺,購買資金不超過9.8萬元.試銷時型凈水器每臺售價2500元,型凈水器每臺售價2180元.槐蔭公司決定從銷售型凈水器的利潤中按每臺捐獻(xiàn)元作為公司幫扶貧困村飲水改造資金,設(shè)槐蔭公司售完50臺凈水器并捐獻(xiàn)扶貧資金后獲得的利潤為,求的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC和△EFC都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECF=90°,點(diǎn)E在AB邊上.
(1)求證:△ACE≌△BCF;
(2)若∠BFE=60°,求∠AEC的度數(shù).
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