Question

【題目】如圖，菱形對(duì)角線、的交點(diǎn)是四邊形對(duì)角線的中點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)、、、分別在四邊形的邊、、、上．

求證：四邊形是平行四邊形；

如圖若四邊形是矩形，當(dāng)與重合時(shí)，已知，且菱形的面積是，求矩形的長(zhǎng)與寬．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）長(zhǎng)為，寬為4

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出OA＝OC，OD＝OB，再由中點(diǎn)的性質(zhì)可得出OF＝OH，結(jié)合對(duì)頂角相等即可利用全等三角形的判定定理（SAS）證出△AOF≌△COH，從而得出AF∥CH，同理可得出DH∥BF，依據(jù)平行四邊形的判定定理即可證出結(jié)論；

（2）設(shè)BD＝m（m＞0），則AC＝2m，結(jié)合菱形的面積為20即可求出m＝2，進(jìn)而得出AC、BD的長(zhǎng)度，再由勾股定理即可得出AB的長(zhǎng)度，由四邊形EFGH為矩形即可得出△AOB∽△AGC，根據(jù)相似比即可得出＝，代入數(shù)據(jù)，此題得解.

∵點(diǎn)是菱形對(duì)角線、的交點(diǎn)，

∴，，

∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，

∴．

在和中，有，

∴，

∴，

∴．

同理可得：．

∴四邊形是平行四邊形．

設(shè)BD＝m，則AC＝2m，

∴S菱形ABCD＝ACBD＝m2＝20，

∴m＝2，

即BD＝2，AC＝4．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴OB＝BD＝，OA＝AC＝2，

∴AB＝＝5．

∵四邊形EFGH為矩形，

∴∠G＝∠AOB＝90°，

∴△AOB∽△AGC，

∴＝，

∴CG＝4，AG＝8．

∴矩形EFGH的長(zhǎng)為8，寬為4.