Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AC是⊙O的直徑，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABC∽△DEB；
（2）求證：BE是⊙O的切線；
（3）求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)BDE=∠CAB（圓周角定理）且∠BED=∠CBA=90°即可得出結(jié)論；
（2）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷OB⊥DE，可得出結(jié)論．
（3）根據(jù)△BED∽△CBA，利用對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出DE的長(zhǎng)度．

解答：（1）BDE=∠CAB（圓周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△DEB；
（2）證明：連結(jié)OB，OD，

在△ABO和△DBO中，

AB=DB BO=BO OA=OD

，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切線．

（3）∵△BED∽△CBA，
∴

BD

AC

=

DE

AB

，
即

12

13

=

DE

12

，
解得：DE=

144

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定及圓周角定理的知識(shí)，綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題要求同學(xué)們熟練掌握一些定理的內(nèi)容．