Question

（2012•和平區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線C1：y=x2，點(diǎn)A（2，4）．
（Ⅰ）求直線OA的解析式；
（Ⅱ）直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B，將拋物線C₁從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)，設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)m為何值時(shí)，線段PB最短？
②當(dāng)線段PB最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）將拋物線C₁作適當(dāng)?shù)钠揭�，得拋物線C2：y=x2-x+c，若點(diǎn)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）在拋物線C₂上，且D、E兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）直線OA的解析式為y=kx，把點(diǎn)A（2，4）代入即可求出k的值，進(jìn)而得出直線的解析式；
（II）①由頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在線段OA上移動(dòng)可得出y與m的函數(shù)關(guān)系式，故可得出拋物線的解析式，當(dāng)x=2時(shí)可得出y與m的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，由m的取值范圍即可得出結(jié)論；
②當(dāng)線段PB最短時(shí)，拋物線的解析式為y=x²-2x+3，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，3）．假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q，使S_△QMA=S_△PMA，當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線PC∥AO交y軸于點(diǎn)C．PB=3，BA=4，可知直線PC的解析式為y=2x-1，聯(lián)立直線與拋物線的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí)，作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥AO，交y軸于點(diǎn)E，同理可得直線DE的解析式，立直線與拋物線的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（III）由點(diǎn)D、E關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，可知x₂=-x₁，y₂=-y₁，再由D、E兩點(diǎn)在拋物線C₂上，可得出y與x的關(guān)系式，聯(lián)立直線DE與拋物線的解析式即可得出x²+c=0，點(diǎn)D、E在拋物線C₂上，即拋物線C₂與直線DE有兩個(gè)公共點(diǎn)，

解答：解：（Ⅰ）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4．
∴k=2．
∴直線OA的解析式為y=2x．                     

（Ⅱ）①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在線段OA上移動(dòng)，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m）．
∴拋物線的解析式為y=（x-m）²+2m．
當(dāng)x=2時(shí)，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，m²-2m+4）．
∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴當(dāng)m=1時(shí)，線段PB最短．                    
②當(dāng)線段PB最短時(shí)，拋物線的解析式為y=x²-2x+3，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，3）．
假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q，使S_△QMA=S_△PMA．
當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線PC∥AO交y軸于點(diǎn)C．
∵PB=3，BA=4，
∴AP=1．
∴直線PC的解析式為y=2x-1．
根據(jù)題意，列出方程組

y=2x-1 y=x2-2x+3.

∴x²-2x+3=2x-1．
解得x₁=2，x₂=2．
∴

x=2 y=3.

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（2，3）．
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合．
∴此時(shí)拋物線上不存在點(diǎn)Q使△QMA與△PMA的面積相等．
當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí)，作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥AO，交y軸于點(diǎn)E，
∵AP=1，
∴DA=1．
∴直線DE的解析式為y=2x+1．
根據(jù)題意，列出方程組

y=2x+1 y=x2-2x+3.

∴x²-2x+3=2x+1．
解得x1=2+

2

，x2=2-

2

．
∴

x1=2+ 2 y1=5+2 2

或

x2=2- 2 y2=5-2 2 .

∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q₁（2+

2

，5+2

2

），Q₂（2-

2

，5-2

2

），使△QMA與△PMA的面積相等．
綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)Q₁（2+

2

，5+2

2

），Q₂（2-

2

，5-2

2

），使△QMA與△PMA的面積相等．                

（Ⅲ）∵點(diǎn)D、E關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，
∴x₂=-x₁，y₂=-y₁①
∵D、E兩點(diǎn)在拋物線C₂上，
∴y1=

x

2 1

-x1+c，②y2=

x

2 2

-x2+c．③
把①代入③，得-y1=

x

2 1

+x1+c．④
②-④得2y₁=-2x₁．
∴y₁=-x₁．
設(shè)直線DE的解析式為y=k′x，
由題意，x₁≠0，
∴k′=-1．
∴直線DE的解析式為y=-x．
根據(jù)題意，列出方程組

y=-x y=x2-x+c.

則有x²+c=0，即x²=-c．
∵點(diǎn)D、E在拋物線C₂上，即拋物線C₂與直線DE有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴-c＞0，即c＜0．
∴c的取值范圍是c＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、一元二次方程根的判別式等知識(shí)，難度較大．