Question

19．正方形ABCD邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)E，M分別是線(xiàn)段AC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交正方形ABCD的邊于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如圖1，若點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：DF=MN；
（2）如圖2，若點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以$\sqrt{2}$cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）；
①當(dāng)點(diǎn)F是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；
②連結(jié)FM，F(xiàn)N，當(dāng)t為何值時(shí)△MNF是等腰三角形（直接寫(xiě)出t值）．

Answer 1

分析 （1）先判定△ADF≌△DNC，即可得到結(jié)論；
（2）①當(dāng)點(diǎn)F是AB中點(diǎn)時(shí)，由比例式$\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{CD}$，計(jì)算即可，
②先表示出AF，DN=CM=t，AN=DM=4-t，再分三種情況計(jì)算．

解答 證明：（1）∵∠DNC+ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN，
在△ADF和△DNC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CDN}\\{AD=CD}\\{∠ADF=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DNC，
∴DF=MN；
（2）①當(dāng)點(diǎn)F是AB中點(diǎn)時(shí)，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=2，
由題意可知，CM=t，AE=$\sqrt{2}$t，CE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵AB∥CD，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{CD}$，
∴$\frac{\sqrt{2}t}{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}=\frac{2}{4}$，
∴t=$\frac{4}{3}$，
②∵△AEF∽△CED，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{CE}$，
∴$\frac{AF}{4}=\frac{\sqrt{2}t}{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}$，
∴AF=$\frac{4t}{4-t}$，
∵△MND∽△DFA，
∴$\frac{ND}{AF}=\frac{DM}{AD}$，
∴$\frac{ND}{\frac{4t}{4-t}}=\frac{4-t}{4}$，
∴DN=CM=t，AN=DM=4-t，
∵△MNF是等腰三角形，
Ⅰ、當(dāng)FN=FM，
∵M(jìn)N⊥DF，
∴FD是MN的垂直平分線(xiàn)，
∴DN=DM，
∴t=4-t，
∴t=2（此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合），
Ⅱ、當(dāng)FM=MN時(shí)，點(diǎn)F在BC上，如圖1，

∵∠NDM=∠MCF，ND=MC，F(xiàn)M=MN，
∴△MFC≌△NMD，
∴FC=DM=4-t，
∵△NDM∽△DCF，
∴$\frac{DN}{DM}=\frac{DC}{FC}$，
∴$\frac{t}{4-t}=\frac{4}{4-t}$，
∴t=4（此時(shí)點(diǎn)F，E與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，如果點(diǎn)N和點(diǎn)A重合時(shí)，符合題意，點(diǎn)N不和點(diǎn)A重合時(shí)，不符合題意，所以，舍去），
Ⅲ、當(dāng)FN=MN時(shí)，如圖2，

∵∠FAN=∠NDM，AN=DM，F(xiàn)N=MN，
∴△FAN≌△NDM，
∴AF=DN，
∴$\frac{4t}{4-t}$=t
∴t=0（不符合題意），
即：當(dāng)t=2時(shí)，△MNF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示線(xiàn)段．