Question

【題目】如圖所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D．

(1)求證：DE∥OC；

(2)若AD=2，DC=3，且AD2=AEAB，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） .

【解析】

試題（1）首先連接OD，由在△ABC中，∠B=90°，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，易證得Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），然后由等腰三角形與三角形外角的性質，證得∠OED=∠BOC，繼而證得DE∥OC；

（2）由AD、DC的長可得AC、BC的長，再根據勾股定理即可得AB的長，再根據AD2=AEAB，從而可得AE的長，繼而得到OB的長，問題得以解答.

試題解析：（1）連接OD，

∵AC切⊙O點D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°，

在Rt△OCD和Rt△OCB中， ，∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），

∴∠DOC=∠BOC，

∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，

∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC；

（2）由AD=2，DC=3得：BC=3，AC=5，由勾股定理得AB= =4，

又∵AD2=AE·AB，∴AE=1，

∴BE=3，OB=BE=，∴=．