(2008•北京)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)O在AB上,以O(shè)為圓心,OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC,AB分別交于點(diǎn)D,E,且∠CBD=∠A.
(1)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若AD:AO=8:5,BC=2,求BD的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可;
(2)通過作輔助線,根據(jù)已知條件求出∠CBD的度數(shù),在Rt△BCD中求解即可.
解答:解:(1)直線BD與⊙O相切.(1分)
證明:如圖,連接OD.
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°,∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直線BD與⊙O相切.(2分)

(2)解法一:如圖,連接DE.
∵AE是⊙O的直徑,∴∠ADE=90°
∵AD:AO=8:5
(3分)
∵∠C=90°,∠CBD=∠A
(4分)
∵BC=2,

(5分)
解法二:如圖,過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H.
∴AH=DH=
∵AD:AO=8:5
∴cosA=(3分)
∵∠C=90°,∠CBD=∠A
(4分)
∵BC=2
(5分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓的切線的判定、圓的有關(guān)性質(zhì)如垂徑定理、直徑所對(duì)的圓周角是直角等,應(yīng)對(duì)其熟練掌握.
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(1)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2(其中x1<x2).若y是關(guān)于m的函數(shù),且y=x2-2x1,求這個(gè)函數(shù)的解析式;
(3)在(2)的條件下,結(jié)合函數(shù)的圖象回答:當(dāng)自變量m的取值范圍滿足什么條件時(shí),y≤2m.

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