Question

17、已知n是正整數(shù)，則奇數(shù)可以用代數(shù)式2n+1來表示．
（1）分解因式：（2n+1）²-1；
（2）我們把所有”奇數(shù)的平方減去1”所得的數(shù)叫”白銀數(shù)”，則所有”白銀數(shù)”的最大公約數(shù)是多少？請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解；
（2）由（1）可知，“白銀數(shù)”為4n（n+1），觀察式子，n（n+1）中，n、n+1必有一個是偶數(shù)，因此這個白銀數(shù)必是8的倍數(shù)，由此求得白銀數(shù)的最大公約數(shù)．

解答：解：（1）（2n+1）²-1=（2n+1+1）（2n+1-1）=4n（n+1）；（3分）
（2）所有”白銀數(shù)”的最大公約數(shù)是8；（1分）
理由：∵n正整數(shù)，則n與n+1必有一個偶數(shù)，∴n（n+1）必是2的倍數(shù)，則4n（n+1）必是8的倍數(shù)，
∴所有”白銀數(shù)”的最大公約數(shù)是8．（2分）

點評：此題主要考查了因式分解以及奇數(shù)、偶數(shù)的表示方法，正確判斷出n（n+1）是2的倍數(shù)，是解決此題的關(guān)鍵．