Question

6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)A作⊙O的切線與直徑CD的延長線交于點(diǎn)E，已知AE=AC．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）若ED=1，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出OA⊥AE，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠E=∠ACE=∠OAC=30°，得出∠AOC=120°，從而求得$\widehat{ABC}$的度數(shù)為120°，$\widehat{ADC}$的度數(shù)為240°，即可求得∠B=120°；
（2）根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)得出OE=2OA=2OD，得出OD=ED=1，得出EO=2，根據(jù)勾股定理即可求得AE．

解答 解：（1）連接OA，
∵AE是⊙O的切線，
∴OA⊥AE，
∵AE=AC，OA=OC，
∴∠E=∠ACE=∠OAC，
∵∠BAC+∠E+∠ACE=180°，
∴90°+3∠E=180°，
∴∠E=∠ACE=∠OAC=30°，
∴∠AOC=90°+30°=120°，
∴$\widehat{ABC}$的度數(shù)為120°，$\widehat{ADC}$的度數(shù)為240°，
∴∠B=120°；
（2）∵在直角三角形OAE中，∠E=30°，
∴OE=2OA，
∵OA=OD，
∴OA=OD=OE=1，
∴OE=2，
∴AE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．