已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,4)且與x軸交于(-2,0),(2,0).

(1)直接寫出拋物線解析式;
(2)如圖,將拋物線向右平移k個(gè)單位,設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)為D,與x軸的交點(diǎn)為A、B,與原拋物線的交點(diǎn)為P.
①當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時(shí),求此時(shí)k的值;
②是否存在這樣的k值,使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上?若存在,求出k值;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)由拋物線的頂點(diǎn)為(0,4),可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+4,再將點(diǎn)(2,0)代入,求出a=-1,即可得到拋物線解析式為y=-x2+4;
(2)①連接CE,CD,先根據(jù)切線的性質(zhì)得出CE⊥OD,再解Rt△CDE,得出∠EDC=30°,然后解Rt△CDO,得出OC=,則k=OC=;
②設(shè)拋物線y=-x2+4向右平移k個(gè)單位后的解析式是y=-(x-k)2+4,它與y=-x2+4交于點(diǎn)P,先求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,-k2+4),再利用待定系數(shù)法求出直線OD的解析式為y=x,然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=x,即可求出k的值.
解答:解:(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為(0,4),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+4,
又∵拋物線過點(diǎn)(2,0),
∴0=4a+4,解得a=-1,
∴拋物線解析式為y=-x2+4;

(2)①如圖,連接CE,CD.
∵OD是⊙C的切線,∴CE⊥OD.
在Rt△CDE中,∠CED=90°,CE=AC=2,DC=4,
∴∠EDC=30°,
∴在Rt△CDO中,∠OCD=90°,CD=4,∠ODC=30°,
∴OC=,
∴當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切時(shí),k=OC=

②存在k=2,能夠使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上.理由如下:
設(shè)拋物線y=-x2+4向右平移k個(gè)單位后的解析式是y=-(x-k)2+4,它與y=-x2+4交于點(diǎn)P,
由-(x-k)2+4=-x2+4,解得x1=,x2=0(不合題意舍去),
當(dāng)x=時(shí),y=-k2+4,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,-k2+4).
設(shè)直線OD的解析式為y=mx,把D(k,4)代入,
得mk=4,解得m=
∴直線OD的解析式為y=x,
若點(diǎn)P(,-k2+4)在直線y=x上,得-k2+4=,
解得k=±2(負(fù)值舍去),
∴當(dāng)k=2時(shí),O、P、D三點(diǎn)在同一條直線上.
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,拋物線平移的規(guī)律,直線與圓相切,解直角三角形,兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法,三點(diǎn)共線的條件,綜合性較強(qiáng),難度中等.其中(2)②除了可以將點(diǎn)P的坐標(biāo)(,-k2+4)代入直線OD的解析式,建立關(guān)于k的方程外,還可以利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(2,1),且經(jīng)過原點(diǎn)O,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上,點(diǎn)D在拋物線上,且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)連接OA、AB,如圖2,在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△OBP與△OAB相似?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)為M(5,6),且經(jīng)過點(diǎn)C(-1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)A,過A作AB∥x軸,交拋物線于另一點(diǎn)B,則拋物線上存在點(diǎn)P,使△ABP的面積等于△ABO的面積,請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)將拋物線向右平移,使拋物線經(jīng)過點(diǎn)(5,0),請直接答出曲線段CM(拋精英家教網(wǎng)物線圖象的一部分,如圖中的粗線所示)在平移過程中所掃過的面積.

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如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,點(diǎn)D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8:
(1)此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若點(diǎn)P為所求拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),試判斷以點(diǎn)P為圓心,PB為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系,并說明理由.
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)P在拋物線上且與點(diǎn)A不重合,直線PB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,過點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為N、M,連接PO、QO.求證:△QMO∽△PNO.
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(2012•衡陽)如圖所示,已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,D在拋物線上,且AD平行x軸,交y軸于點(diǎn)F,AB的中點(diǎn)E在x軸上,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),點(diǎn)P(a,b)在拋物線上運(yùn)動(dòng).(點(diǎn)P異于點(diǎn)O)
(1)求此拋物線的解析式.
(2)過點(diǎn)P作CB所在直線的垂線,垂足為點(diǎn)R,
①求證:PF=PR;
②是否存在點(diǎn)P,使得△PFR為等邊三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
③延長PF交拋物線于另一點(diǎn)Q,過Q作BC所在直線的垂線,垂足為S,試判斷△RSF的形狀.

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已知拋物線的頂點(diǎn)為(-1,-2),且通過(1,10),則這條拋物線的表達(dá)式為(  )

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