Question

已知：如圖，直線y=-

3

x+4

3

與x軸相交于點A，與直線y=

3

x相交于點P（2，2

3

）．
（1）請判斷△OPA的形狀并說明理由．
（2）動點E從原點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著O→P→A的路線向點A勻速運(yùn)動（E不與點O、A重合），過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B．設(shè)運(yùn)動t秒時，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．
求：①S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)t為何值時，S最大，并求S的最大值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求得直線y=-

3

x+4

3

與x軸的交點A的坐標(biāo)，過P作PD⊥OA于點D．利用三角函數(shù)求得∠POA的度數(shù)以及OP的長，即可對三角形的形狀進(jìn)行判斷；
（2）分當(dāng)0＜t≤4和4＜t＜8兩種情況進(jìn)行討論，兩種情況下分別求得S與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求得最大值．

解答：解：（1）△PDA是等邊三角形．
理由：當(dāng)y=0時，代入y=-

3

x+4

3

，則-

3

x+4

3

=0，
解得：x=4，即OA=4，
作PD⊥OA于點D．則OD=2，PD=2

3

．
∵tan∠POA=

2 3

2

=

3

．
∴∠POA=60°．
∵OP=

22+(2 3 )2

=4，
∴△POA是等邊三角形；

（2）①當(dāng)0＜t≤4時，如圖1，
在直角△EOF中，∵∠EOF=60°，OB=t，
∴EF=

3

2

t，OF=

1

2

t．
∴S=

1

2

OF•EF=

3

8

t2．
當(dāng)4＜t＜8時，如圖2．
設(shè)EB與OP相交于點C，
易證CE=PE=t-4，AE=8-t．
∴AF=4-

1

2

t，EF=

3

2

（8-t）．
∴OF=OA-AF=4-（4-

1

2

t）=

1

2

t．
∴S=

1

2

（CE+OF）•EF=

1

2

（t-4+

1

2

t）×

3

2

（8-t）
=-

3 3

8

t²+4

3

t-8

3

；
②當(dāng)0＜t≤4時，S=

3

8

t²，S_最大=2

3

，
當(dāng)4＜t＜8時，S=-

3 3

8

t²+4

3

t-8

3

=-

3 3

8

（t-

16

3

）²+

8 3

3

，
當(dāng)t=

16

3

時，S_最大=

8 3

3

．
∵

8 3

3

＞2

3

，
∴當(dāng)t=

16

3

時，S_最大=

8 3

3

．

點評：本題時一次函數(shù)與二次函數(shù)以及三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．