Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，O點在AC邊上，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AC的另一個交點為D，AE⊥BO的延長線于E點，且AE²=OE•BE．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若BC=6，tan∠BAC=

3

4

，求AE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）作OH⊥AB于H，由AE²=OE•BE，∠AEO=∠BEA可判斷△EAO∽△EBA，得到∠1=∠2，再證明∠1=∠3，則∠2=∠3，根據(jù)角平分線性質(zhì)得OC=OH，然后根據(jù)切線的判定定理得到AB是⊙O的切線；
（2）在Rt△ABC中，根據(jù)正切的定義可計算出AC=8，再根據(jù)勾股定理計算出AB=10，然后根據(jù)切線長定理得BC=BH=6，則AH=AB-BH=4；Rt△AHO中，根據(jù)正切的定義計算出OH=3，則OC=3，所以AO=5，利用勾股定理計算出OB=3

5

，再證明Rt△OAE∽Rt△OBC，利用相似比可計算出AE．

解答：（1）證明：作OH⊥AB于H，如圖，
∵AE²=OE•BE，
∴AE：OE=BE：AE，
而∠AEO=∠BEA，
∴△EAO∽△EBA，
∴∠1=∠2，
∵∠4=∠5，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，即OB為∠ABC的平分線，
∴OC=OH，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△ABC中，tan∠BAC=

BC

AC

=

3

4

，
而BC=6，
∴AC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵BH和BC都是⊙O的切線，
∴BC=BH=6，
∴AH=AB-BH=4，
在Rt△AHO中，tan∠HAO=

OH

AH

=

3

4

，
∴OH=3，
∴OC=3，
∴AO=AC-OC=5，
在△OBC中，OB=

BC2+OC2

=

62+32

=3

5

，
∵∠1=∠3，
∴Rt△OAE∽Rt△OBC，
∴

AE

BC

=

OA

OB

，即

AE

6

=

5

3 5

，
∴AE=2

5

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理．