Question

2．已知拋物線y=mx²+2mx+n交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C（0，3），頂點(diǎn)為D，且AB=4．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)S在x軸上，當(dāng)△DPS為等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線沿對(duì)稱(chēng)軸向下平移，使頂點(diǎn)落在x軸上，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，過(guò)M的直線交拋物線于E、F（點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)），連DE，DF，且S_△DEF=20．求E、F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）可根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法就可解決問(wèn)題；
（2）由于等腰直角△DPS的直角頂點(diǎn)不確定，可分三種情況討論，然后只需通過(guò)構(gòu)造K型相似，用一個(gè)字母表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可解決問(wèn)題；
（3）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DM于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DM于H，如圖2．設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由S_△DEF=20可得到x₂-x₁=5，易得EF的解析式y(tǒng)=kx+k-4，代入y=-x²-2x-1，只需運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系就可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）拋物線y=mx²+2mx+n的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{2m}{2m}$=-1．
由AB=4，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得：
A（-1-$\frac{4}{2}$，0）即（-3，0），B（-1+$\frac{4}{2}$，0）即（1，0）．
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y=mx²+2mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{m+2m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）由y=-x²-2x+3可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），設(shè)P（p，q）．
①當(dāng)∠DPS=90°，PD=PS時(shí)，
過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥PN于M，如圖1①．

則有∠DMP=∠PNS=90°，∠MDP=∠NPS=90°-∠MPD．
在△DMP和△PNS中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMP=∠PNS}\\{∠MDP=∠NPS}\\{PD=PS}\end{array}\right.$，
∴△DMP≌△PNS，
∴DM=PN=q，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1+q，q），
∴q=-（-1+q）²-2（-1+q）+3，
整理得q²+q-4=0，
解得q₁=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，q₂=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，
∵點(diǎn)P為對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，
∴-1+q＞-1即q＞0，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）；
②當(dāng)∠SDP=90°，DS=DP時(shí)，
過(guò)點(diǎn)P、S作x軸的垂線，與過(guò)點(diǎn)D垂直于y軸的直線分別交于點(diǎn)M、N，如圖1②．

同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-12）；
③當(dāng)∠DSP=90°，SD=SP時(shí)，
過(guò)點(diǎn)D、P作y軸的垂線，與過(guò)點(diǎn)S垂直于x軸的直線分別交于點(diǎn)M、N，如圖1③．

同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-9+\sqrt{33}}{2}$）．
綜上所述：當(dāng)△DPS為等腰直角三角形時(shí)，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$），（3，-12），（$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-9+\sqrt{33}}{2}$）；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DM于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DM于H，如圖2．

設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則
EG=-1-x₁，F(xiàn)H=x₂-（-1）=x₂+1．
∵點(diǎn)D與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴M（-1，-4），DM=4-（-4）=8．
∵S_△DEF=20，
∴$\frac{1}{2}$×8×（-1-x₁）+$\frac{1}{2}$×8×（x₂+1）=4（x₂-x₁）=20，
∴x₂-x₁=5．
設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線的解析式為y=kx+b，
∴-4=-k+b，
∴b=k-4，
∴過(guò)點(diǎn)M的直線的解析式為y=kx+k-4．
由題可知：平移后的拋物線的解析式為y=-（x+1）²．
將y=kx+k-4代入y=-x²-2x-1中，得
x²+（k+2）x+k-3=0，
∴x₁+x₂=-（k+2），x₁•x₂=k-3，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（k+2）²-4（k-3）=25，
解得k=±3．
①當(dāng)k=-3時(shí)，直線EF的解析式為y=-3x-7，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-7}\\{y=-（x+1）^{2}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-16}\end{array}\right.$，
∴E（-2，-1），F(xiàn)（3，-16）；
②當(dāng)k=3時(shí)，直線EF的解析式為y=3x-1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-1}\\{y=-（x+1）^{2}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴E（-5，-16），F(xiàn)（0，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性、根與系數(shù)的關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、解方程組等知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)討論并構(gòu)造K型相似是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是解決第（3）小題的關(guān)鍵．