Question

探索n×n的正方形釘子板上(n是釘子板每邊上的釘子數)，連接任意兩個釘子所得到的不同長度值的線段種數：

當n=2時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與，所以不同長度值的線段只有2種，若用S表示不同長度值的線段種數，則S=2；

當n=3時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1，，2，，2五種，比n=2時增加了3種，即S=2+3=5。

(1)    觀察圖形，填寫下表：

釘子數(n×n)	S值
2×2	2
3×3	2+3
4×4	2＋3＋(     )
5×5	(                 )

(2)    寫出(n－1)×(n－1)和n×n的兩個釘子板上，不同長度值的線段種數之間的關系；(用式子或語言表述均可)

(3)對n×n的釘子板，寫出用n表示S的代數式。

Answer 1

解：（1）4，2＋3＋4＋5（或14）

（2）（i）n×n的釘子板比(n－1)×(n－1)的釘子板中不同長度的線段種數增加了n種；

（ii）分別用a，b表示n×n與(n－1)×(n－1)的釘子板中不同長度的線段種數，

則a=b＋n。

（3）S=2＋3＋4＋…＋n