Question

已知一次函數(shù)y=-x+7與反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0，x＞0)圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其中A（1，a）、B（b，1）．
（1）求a、b、k的值；
（2）觀察圖象，直接寫出不等式

k

x

+x-7＜0的解集；
（3）若點(diǎn)M（3，0），連接AM、BM，探究∠AMB是否為90°，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,一次函數(shù)的應(yīng)用,勾股定理的逆定理

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法把A（1，a）、B（b，1）代入y=-x+7中可得a、b的值，進(jìn)而得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0，x＞0)中可得k的值；
（2）根據(jù)（1）中計(jì)算的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合函數(shù)圖象可得答案；
（3）根據(jù)A、B、M三點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出AM²、BM²、AB²，再根據(jù)勾股定理逆定理可得答案．

解答：解：（1）∵A（1，a）、B（b，1）在y=-x+7的圖象上，
∴a=-1+7=6，1=-b+7，
解得：a=6，b=6，
∴A（1，6），B（6，1），
∵反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0，x＞0)圖象過A，
∴k=6×1=6；

（2）不等式

k

x

+x-7＜0可變形為

k

x

＜-x+7，
根據(jù)圖象可得1＜x＜6或x＜0；

（3）∵A（1，6），B（6，1），M（3，0），
∴AM²=2²+6²=40，MB²=3²+1²=10，AB²=5²+5²=50，
∴AM²+BM²=AB²，
∴∠AMB=90°．

點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)，必能滿足解析式．