Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)．現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖1）．

（1）求邊AB在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；

（2）設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)MN=m，當(dāng)m為何值時(shí)△OMN的面積最小，最小值是多少？并直接寫出此時(shí)△BMN內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）；（2）無變化；（3），，

【解析】分析：(1)陰影部分不是一個(gè)規(guī)則圖形，它的面積等于S陰＝S△OAB＋S扇形OBB′﹣S△OA'B′﹣S扇形OAA′＝S扇形OBB′﹣S扇形OAA′；(2)證明△OAE≌△OCN(AAS)，△OME≌△OMN(SAS)，得到p＝MN＋BN＋BM＝AB＋BC；(3)S△MON＝S△MOE＝OA×EM＝m，即是要求m的最小值，設(shè)AM＝n，在Rt△BMN中，由勾股定理得到關(guān)于n的一元二次方程，根據(jù)△≥求m的最小值，直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于直角邊的和與斜邊差的一半.

詳解：解：(1)如圖，S陰＝S△OAB＋S扇形OBB′﹣S△OA′B′﹣S扇形OAA′

＝S扇形OBB′﹣S扇形OAA′＝﹣.

(2)p值無變化

證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，

在△OAE與△OCN中，

∠AOE＝∠CON＝90°－∠AON，∠OAE＝∠OCN＝90°，OA＝OC，

∴△OAE≌△OCN(AAS)，∴OE＝ON，AE＝CN.

在△OME與△OMN中，

OE＝ON，∠MOE＝∠MON＝45°，OM＝OM，

∴△OME≌△OMN(SAS)，∴MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN，

∴p＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝2；

(3)設(shè)AM＝n，則BM＝1﹣n，CN＝m﹣n，BN＝1﹣m＋n，

∵△OME≌△OMN，∴S△MON＝S△MOE＝OA×EM＝m，

在Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，

∴(1﹣n)2＋(1﹣m＋n)2＝m2，化簡(jiǎn)得，n2﹣mn＋1﹣m＝0

∴△＝m2﹣4(1﹣m)≥0，解得，m≥﹣2或m≤﹣﹣2，

∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，△OMN的面積最小為﹣1．

此時(shí)n＝﹣1，

則BM＝1﹣n＝2﹣，BN＝1﹣m＋n＝2﹣，

∴Rt△BMN的內(nèi)切圓半徑為＝3﹣．