Question

8．矩形ANCD中，AD=5，CD=3，在直線BC上取一點(diǎn)E，使△ADE是以DE為底的等腰三角形，過(guò)點(diǎn)D作直線AE的垂線，垂足為點(diǎn)F，則EF=1或9．

Answer 1

分析 分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，②當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上，利用勾股定理求出EB，再利用全等三角形證明EF=EC即可解決問(wèn)題．

解答 解；如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC=5，AB=CD=3，∠ABC=∠C=∠ABE=90°，AD∥EC
∵AE=AD=5，
∴∠AED=∠ADE=∠DEC，
在RT△ABE中，∵AE=5，AB=3，
∴EB=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在△EDF和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠C}\\{∠DEF=∠DEC}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
△EDF≌△EDC
∴EF=EC=EB+BC=9．
如圖2中，∵AD=AE=5，AB=3，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
∴EC=1，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC=∠AED，
在△EDF和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠C}\\{∠DEF=∠DEC}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DEC，
∴EF=EC=1，
綜上所述EF=9或1．
故答案為9或1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考�？碱}型．