如圖,在半徑為3厘米的⊙O中,A,B,C三點在圓上,∠BAC=75°,點P從點B開始以
π5
厘米/秒的速度在劣弧BC上運動,且運動時間為t(秒),∠AOB=90°、∠BOP=n°.
(1)∠BOC=
150
150
 度,求n與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求t的取值范圍;
(2)試探究當點P運動多少秒時:
①四邊形PBAC為等腰梯形,并說明其理由;
②以P,B,A,C四點中的三點為頂點的三角形是等腰三角形.
分析:(1)利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)求出∠BOP即可,再利用弧長公式求出n與t的關(guān)系即可;
(2)①當BP∥AC時,以及當PC∥AB時,分別利用等腰梯形的性質(zhì)求出即可;
②以AB為腰時,以AB為底邊時,再利用在△APC中,∠APC=60°,△APC是等邊三角形和在△BPC中,∠BPC=105°,只有BP=PC這種情況,分別求出即可.
解答:解:(1)∵∠AOB=90°,∴∠BAO=45°,
∵∠BAC=75°,∴∠CAO=30°,
∵AO=CO,
∴∠CAO=∠OCA=30°,
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°,
∴∠BOC=360°-90°-120°=150°,
∵∠BOP=n°,則
π
5
t=
3πn
180
,整理得出:n=12t,
當n=150°時,150°=12t,t=12.5,故0≤t≤12.5.

(2)①∠BOP=n°,n=12t.
如圖1,當BP∥AC時,t=5秒,四邊形PBAC為等腰梯形.
理由:∵∠PBA=180°-75°=105°,
∵∠OBA=45°∴∠OBP=60°,OB=OP,
∴∠BOP=60°,則60=12t,
解得:t=5(秒),
又∵∠AOP=150°,∠ACP=75°,∴AB 與PC不平行.
又∵∠POC=150°-60°=90°=∠AOB,
∴AB=PC,∴四邊形PBAC為等腰梯形.
如圖2,當PC∥AB時,n=120=12t,解得:t=10(秒)
理由:∵∠CPB=180°-75°=105°,
∵∠OBA=45°,∴∠OBP=30°,OB=OP,
∴∠BOP=120°,則120=12t,
解得:t=10(秒),
又∵∠ACP=180°-75°=105°,∠BPC=105°,∴PB與AC不平行.
又∵∠POB=120°=∠AOC,
∴PB=AC,∴四邊形PBAC為等腰梯形.
②在△ABP中,以AB為腰時(如圖3),
∵∠BPA=∠BAP=45°,
∴∠BOP=45°+45°=90°,
故n=90=12t,解得:t=7.5(秒),
以AB為底邊時(如圖4),
∵∠BPA=
1
2
∠BOA=45°,∴∠BAP=67.5°,∴∠BOP=2×67.5°,
故135=12t,
解得:t=11.25(秒).
如圖5.在△APC中,∠APC=60°,△APC是等邊三角形,
∴∠BAP=15°,∠BOP=30°,
故30=12t,解得:t=2.5(秒).
如圖6,在△BPC中,∠BPC=105°,只有BP=PC這種情況,
此時P是弧BC的中點,或說AP是∠BAC的平分線,
∠BOP=75°,
故n=75=12t,
解得:t=6.25(秒).
綜合上述:當點P運動時間為5,10秒,四邊形ABPC為等腰梯形;
當點P運動時間為7.5,11.25秒,三角形ABP為等腰三角形;
當點P運動時間為2.5秒,三角形APC為正三角形;
當點P運動時間為6.25秒,三角形BPC為等腰三角形.
點評:此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及等腰梯形的判定和等腰三角形的性質(zhì)以及弧長公式的應(yīng)用等知識,利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是解題關(guān)鍵.
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