Question

如圖所示，等腰直角三角形△ABC的直角邊AB=2，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相等的速度做直線運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．
（1）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，△PCQ的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)AP的長(zhǎng)為何值時(shí)S_△PCQ=S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）由條件可以得出AP=CQ，就有BQ=x+2，PB=2-x或x-2，分兩種情況討論，0≤x≤2，和x＞2時(shí)由三角形的面積公式及可以求出結(jié)論；
（2）先求出△ABC的面積，根據(jù)（1）的解析式分別建立方程求出其值即可．

解答：解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC=2．
∵P、Q速度相同，
∴AP=CQ=x，
當(dāng)0≤x≤2時(shí)
S=

x(2-x)

2

=-

1

2

x²+x
當(dāng)x＞2時(shí)，
S=

x(x-2)

2

=

1

2

x²-x，
∴S=

- 1 2 x2+x(0≤x≤2) 1 2 x2-x(x＞2)

；
（2）由題意，得
當(dāng)-

1

2

x²+x=2時(shí)，
△＜0，原方程無(wú)解；

1

2

x²-x=2時(shí)
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

（舍去）
∴AP=1+

5

．
答：當(dāng)AP=1+

5

時(shí)，S_△PCQ=S_△ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)解析式是關(guān)鍵．