Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交AB于D，AD＜AC，過C、D兩點做⊙O，且圓心O在BC上．
（1）求證：AB與⊙O相切；
（2）若CD=5，△ACD面積為6，求⊙O半徑．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）由CD平分∠ACB得∠ACD=∠OCD，加上∠OCD=∠ODC，則∠ODC=∠ACD，根據(jù)平行線的判定方法得到OD∥AC，則∠ODB=∠A=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AB與⊙O相切；
（2）⊙O交BC于E，連結(jié)DE，如圖，先根據(jù)面積公式得到AD•AC=12，再利用勾股定理得AD²+AC²=CD²=25，利用完全平方公式變形后可計算出（AD+AC）²=49，則AD+AC=7，可解得AD=3，AC=4，然后證明Rt△CDE∽Rt△CAE，利用相似比計算出CE，則即可得到圓的半徑．

解答：（1）證明：∵CD平分∠ACB交AB，
∴∠ACD=∠OCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠ACD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠A=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB與⊙O相切；
（2）解：⊙O交BC于E，連結(jié)DE，如圖，
∵S_△ADC=

1

2

AD•AC=6，
∴AD•AC=12，
∵AD²+AC²=CD²=25，
∴（AD+AC）²-2AD•AC=25，
∴（AD+AC）²=49
∴AD+AC=7，
∴AD=3，AC=4，
∵CE為直徑，
∴∠EDC=90°，
而∠ECD=∠DCA，
∴Rt△CDE∽Rt△CAE，
∴CD：CE=CA：CD，即5：CE=7：5
∴CE=

25

7

，
∴⊙O半徑為

25

14

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．