Question

如圖①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分別是AB、AC上的兩點，且GF∥BC，AF=2，BG=4．
（1）求梯形BCFG的面積；
（2）有一梯形DEFG與梯形BCFG重合，固定△ABC，將梯形DEFG向右運動，直到點D與點C重合為止，如圖②．
①若某時段運動后形成的四邊形BDG'G中，DG⊥BG'，求運動路程BD的長，并求此時G'B²的值；
②設運動中BD的長度為x，試用含x的代數(shù)式表示出梯形DEFG與Rt△ABC重合部分的面積S．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
又∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠AFG=45°．
∴AG=AF=2，AB=AC=6．
∴S_梯形GBCF=S_△ABC-S_△AGF=．

（2）①∵在運動過程中有DG′∥BG且DG′=BG，∴BDG′G是平行四邊形．
當DG⊥BG′時，BDG′G是菱形．
∴BD=BG=4．
如圖③，當BDG′G為菱形時，過點G′作G′M⊥BC于點M．
在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4，
∴DM=G′M且DM²+G'M²=DG'²．
∴DM=G′M=，
∴BM=．連接G′B．
在Rt△G′BM中，．
②當0≤x≤時，其重合部分為梯形，如圖②．
在Rt△AGF與Rt△ABC中，，．
過G點作GH垂直BC于點H，得GH=．
由①，知BD=GG′=x，DC=，．
∴S_梯形=．
當≤x≤時，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③．
∵斜邊DC=，斜邊上的高為，
∴．

分析：（1）在Rt△ABC中由AB=AC得到∠ABC=∠ACB=45°．又由GF∥BC得到∠AGF=∠AFG=45°，由此得到AG=AF=2，AB=AC=6，而S_梯形GBCF=S_△ABC-S_△AGF，所以梯形的面積就可以求出了；
（2）①根據(jù)運動過程知道BDG′G是平行四邊形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD=BG=4，如圖③過點G′作G′M⊥BC于點M，在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4可以得到DM=G′M且DM²+G'M²=DG'²，求出DM=G'M=2，接著得到BM=4+2，然后在Rt△G′BM中，根據(jù)勾股定理可以求出BG'²；②當o≤x≤時，其重合部分為梯形，如圖②．在Rt△AGF與Rt△ABC中分別求出GF，BC，過G點作GH垂直BC于點H，得GH=2，由①知BD=GG′=x，DC=6-x，G'F'=2-x，現(xiàn)在就可以用x表示S了．當≤x≤時，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③．斜邊DC=6-x，斜邊上的高為，現(xiàn)在也可以用x表示s了．
點評：在有關動點的幾何問題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對各種可能出現(xiàn)的圖形對每一種可能的情形都分別進行研究和求解．換句話說，分類思想在動態(tài)問題中運用最為廣泛．