Question

20．（1）已知：如圖，點(diǎn)M在正方形ABCD的對(duì)角線BD上．求證：AM=CM．
（2）如圖，在⊙O中，過(guò)直徑AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)C作⊙O的一條切線，切點(diǎn)為D，若AC=7，AB=4．求：cosC的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)四邊形ABCD是正方形，可得AD=CD，∠ADM=∠CDM=45°，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ADM≌△CDM，即可判斷出AM=CM；
（2）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ODC=90°，可得cosC的值．

解答 （1）證明：∵四邊形是ABCD正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADM和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}AD=DC\\∠ADM=∠CDM\\ DM=DM\end{array}\right.$
∴△ADM≌△CDM（SAS）
∴AM=CM；
（2）解：連接OD，
∵CD為圓O的切線，
∴∠ODC=90°，
∵AB=4，
∴OA=OD=2，
∵AC=7
∴OC=5，
在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得 CD=$\sqrt{21}$，
∴cosC=$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題考查了正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸．
（2）本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．