Question

17．如圖，△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABDE、ACFG．試說明：
（1）CE=BG；
（2）CE⊥BG．

Answer 1

分析 （1）要證明CE=BG，可通過證明△EAC與△BAG全等來證明；
（2）因為△EAC≌△BAG，所以∠AEC=∠ABG．如圖EC交AB于點M，交BG于點N，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，在△AEM和△BNM中，∠EMA=∠BMN，∠AEC=∠ABG，所以∠ENB=∠EAB=90°，由垂直的定義可以證得CE⊥BG．

解答 解：
（1）在正方形ABDE和正方形ACFG中，AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，即：∠EAC=∠BAG，
 在△EAC和△BAG中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB（已證）}\\{∠EAC=∠BAG（已證）}\\{AC=AG（已證）}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴EC=BG（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；
（2）如圖EC交AB于點M，交BG于點N，
∵△EAC≌△BAG（已證），
∴∠AEC=∠ABG（全等三角形的對應(yīng)角相等），
又∵∠EMA=∠BMN（對頂角相等），
∴∠AEC+∠EMA=∠ABG+∠BNM，
∴180°-（∠AEC+∠EMA）=180°-（∠ABG+∠BNM）（三角形內(nèi)角和定理），
即：∠MNB=∠EAB=90°，
∴CE⊥BG（垂直定義）．

點評 本題考查得用全等三角形證明兩條線段相等，證明兩條線段相等通常證明兩條線段所在的三角形全等．這也是我們證明兩條線段相等常用的方法之一．