Question

已知：x＞0，y＞0，x+y=12．則

x2+25

+

y2+16

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)兩點間距離公式，可知本題即求點P（x，0）（0≤x≤12）到點A（0，5）和點B（12，4）的距離之和的最小值，在平面直角坐標系中畫出圖形，即可求解．

解答：解：構造圖形如圖所示：

在直角坐標系中，設點A（0，5）、B（12，4）、P（x，0）（0≤x≤12）．
那么PA+PB=

x2+25

+

y2+16

=

x2+25

+

(12-x)2+16

．
所求

x2+25

+

(12-x)2+16

的最小值就是PA+PB的最小值．
作點A關于x軸的對稱點A′，過A′作y軸的垂線，過點B作x軸的垂線，兩垂線交于點C．
則A′C=12，BC=9，A′B=

A′C2+BC2

=

122+92

=15．
所求

x2+25

+

y2+16

的最小值是15．
故答案為：15．

點評：此題主要考查軸對稱--最短路線問題．解這類問題的關鍵是將實際問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段．