Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，⊙P的半徑是4，直線y=x被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為$4\sqrt{3}$，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，PD⊥x軸于D，交直線y=x于E，連結(jié)PA，根據(jù)切線的性質(zhì)得PC⊥y軸，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），易得△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，根據(jù)垂徑定理由PH⊥AB得AH=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理可得PH=2，于是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PE=$\sqrt{2}$PH=2$\sqrt{2}$，則PD=4+2$\sqrt{2}$，然后利用第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，PD⊥x軸于D，交直線y=x于E，連結(jié)PA，
∵⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，
∴PC⊥y軸，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），
∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，
∵PH⊥AB，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
在△PAH中，PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴PE=$\sqrt{2}$PH=2$\sqrt{2}$，
∴PD=4+2$\sqrt{2}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4+2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了垂徑定理．