Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是邊BC上一點，點E、F分別是線段AB、AD中點，聯(lián)結(jié)CE、CF、EF．
（1）求證：△CEF≌△AEF；
（2）聯(lián)結(jié)DE，當BD=2CD時，求證：DE=AF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）在直角三角形ABC中，E為斜邊AB的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CE=AE，在直角三角形ACD中，F(xiàn)為斜邊AD的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AF=CF，再由EF=EF，利用SSS即可得證；
（2）由EF為三角形ABD的中點，利用中位線定理得到EF與BD平行，EF等于BD的一半，再由BD=2DC，等量代換得到EF=CD，再由EF與CD平行，得到四邊形CEFD為平行四邊形，可得出DE=CF，再由CF=AF，等量代換得到DE=AF．

解答：證明：（1）∵∠ACB=90°，且E線段AB中點，
∴CE=

1

2

AB=AE，
∵∠ACD=90°，F(xiàn)為線段AD中點，
∴AF=CF=

1

2

AD，
在△CEF和△AEF中，

CF=AF EF=EF CE=AE

，
∴△CEF≌△AEF（SSS）；
（2）連接DE，
∵點E、F分別是線段AB、AD中點，
∴EF=

1

2

BD，EF∥BC，
∵BD=2CD，
∴EF=CD．
又∵EF∥BC，
∴四邊形CEFD是平行四邊形，
∴DE=CF，
∵CF=AF，
∴DE=AF．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線定理，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．