Question

如圖1，點A為拋物線C₁：的頂點，點B的坐標(biāo)為(1，0)，直線AB交拋物線C₁于另一點C．

(1)求點C的坐標(biāo)；

(2)如圖1，平行于y軸的直線x＝3交直線AB于點D，交拋物線C₁于點E，平行于y軸的直線x＝a

交直線AB于F，交拋物線C₁于G，若FG：DE＝4∶3，求a的值；

(3)如圖2，將拋物線C₁向下平移m(m＞0)個單位得到拋物線C₂，且拋物線C₂的頂點為點P，交x軸

于點M，交射線BC于點N，NQ⊥x軸于點Q，當(dāng)NP平分∠MNQ時，求m的值．

圖1                              圖2

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵當(dāng)x=0時，y＝－2�！郃（0，－2）。

                 設(shè)直線AB的解析式為，則，解得。

                 ∴直線AB的解析式為。

                 ∵點C是直線AB與拋物線C₁的交點，

                 ∴，解得（舍去）。

                 ∴C（4，6）。

（2）∵直線x＝3交直線AB于點D，交拋物線C₁于點E，

 

 

     ∴，∴DE=。

     ∵FG：DE＝4∶3，∴FG=2。

             ∵直線x＝a交直線AB于點F，交拋物線C₁于點G，

             ∴。

∴FG=。

             解得。

（3）設(shè)直線MN交y軸于點T，過點N作NH⊥y軸于點H。

 

 

     設(shè)點M的坐標(biāo)為（t,0），拋物線C₂的解析式為。

     ∴�！�。

∴�！郟（0，）。

                 ∵點N是直線AB與拋物線C₂的交點，

                 ∴，解得（舍去）。

∴N（）。

                 ∴NQ=，MQ=�！郚Q=MQ。∴∠NMQ=45⁰。

                 ∴△MOT，△NHT都是等腰直角三角形。∴MO=TO，HT=HN。

                 ∴OT=－t，。

                 ∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT。

                 ∴，解得（舍去）。

                 ∴�！�。

【解析】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元二次方程組，平移的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)。

（1）由點A在拋物線C₁上求得點A的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；聯(lián)立直線AB和拋物線C₁即可求得點C的坐標(biāo)。

        （2）由FG：DE＝4∶3求得FG=2。把點F和點G的縱坐標(biāo)用含a的代數(shù)式表示，即可得等式

FG=，解之即可得a的值。

        （3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（t,0）和拋物線C₂的解析式，求得t和m的關(guān)系。求出點P和點N的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示），得出△MOT，△NHT都是等腰直角三角形的結(jié)論。從而由角平分線和平行的性質(zhì)得到PT=NT，列式求解即可求得t，從而根據(jù)t和m的關(guān)系式求出m的值。