Question

【題目】如圖，大海中有A和B兩個(gè)島嶼，為測(cè)量它們之間的距離，在海岸線PQ上點(diǎn)E處測(cè)得∠AEP＝60°，∠BEQ＝45°；在點(diǎn)F處測(cè)得∠AFP＝45°，∠BFQ＝90°，EF＝2km．

（1）判斷AB、AE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）求兩個(gè)島嶼A和B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

【答案】（1）AB=AE，理由見(jiàn)解析；（2）（）km．

【解析】

試題（1）根據(jù)SAS即可證明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；

（2）作AH⊥PQ，垂足為H．設(shè)AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函數(shù)表示出HE與HF，從而可得到關(guān)于x的方程，解方程即可得解．

試題解析：（1）相等．

∵∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，

∴∠EBF=∠BEQ=30°，

∴EF=BF，

又∵∠AFP=60°，

∴∠BFA=60°．

在△AEF與△ABF中，

∵，

∴△AEF≌△ABF（SAS），

∴AB=AE；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PQ，垂足為H．

設(shè)AE=xkm，

則AH=xsin60°km，HE=xcos60°km，

∴HF=HE+EF=（xcos60°+2）km，

Rt△AHF中，AH=HFtan45°，

∴AH=HF，

即：xsin60°= xcos60°+2

解得：x=，

即AB=AE=（）km．

答：兩個(gè)島嶼A與B之間的距離為（）km．

考點(diǎn): 解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．