Question

5．某超市準(zhǔn)備購進(jìn)A、B兩種品牌臺燈，其中A品牌臺燈每盞進(jìn)價比B品牌臺燈每盞進(jìn)價貴30元，A品牌臺燈每盞售價120元，B品牌臺燈每盞售價80元．已知，用1040元購進(jìn)的A品牌臺燈的數(shù)量與用650元購進(jìn)的B品牌臺燈數(shù)量相同．
（1）求A、B兩種品牌臺燈的進(jìn)價分別是多少元？
（2）該超市打算購進(jìn)A、B兩種品牌臺燈共100盞，同時要求A、B兩種品牌臺燈的總利潤不得少于3400元，不得多于3550元，問該超市有幾種進(jìn)貨方案？
（3）在（2）的所有進(jìn)貨方案中，該超市決定對A品牌臺燈進(jìn)行降價促銷，A品牌臺燈每盞降價m（8?m?15）元，B品牌臺燈售價不變，那么該超市如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)：“1040元購進(jìn)的A品牌臺燈的數(shù)量=650元購進(jìn)的B品牌臺燈數(shù)量”相等關(guān)系，列方程求解可得；
（2）根據(jù)：“3400≤A、B品牌臺燈的總利潤≤3550”不等關(guān)系，列不等式組，可知數(shù)量范圍，確定方案數(shù)；
（3）利用：總利潤=A品牌臺燈利潤+B品牌臺燈利潤，列出函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)增減性，分類討論即可．

解答 解：（1）設(shè)A品牌臺燈進(jìn)價為x元/盞，則B品牌臺燈進(jìn)價為（x-30）元/盞，根據(jù)題意得
$\frac{1040}{x}=\frac{650}{x-30}$，解得x=80，
經(jīng)檢驗(yàn)x=80是原分式方程的解．
則A品牌臺燈進(jìn)價為80元/盞，
B品牌臺燈進(jìn)價為x-30=80-30=50（元/盞），
答：A、B兩種品牌臺燈的進(jìn)價分別是80元/盞，50元/盞．
（2）設(shè)超市購進(jìn)A品牌臺燈a盞，則購進(jìn)B品牌臺燈有（100-a）盞，根據(jù)題意，有
$\left\{\begin{array}{l}{（120-80）a+（80-50）（100-a）≥3400}\\{（120-80）a+（80-50）（100-a）≤3550}\end{array}\right.$
解得，40≤a≤55．
∵a為整數(shù)，
∴該超市有16種進(jìn)貨方案．
（3）令超市銷售臺燈所獲總利潤記作w，根據(jù)題意，有
w=（120-m-80）a+（80-50）（100-a）
=（10-m）a+3000
∵8?m?15
∴①當(dāng)8＜m＜10時，即10-m＜0，w隨a的增大而減小，
故當(dāng)a=40時，所獲總利潤w最大，
即A品牌臺燈40盞、B品牌臺燈60盞；
②當(dāng)m=10時，w=3000；
故當(dāng)A品牌臺燈數(shù)量在40至55間，利潤均為3000；
③當(dāng)10＜m＜15時，即10-m＞0，w隨a的增大而增大，
故當(dāng)a=55時，所獲總利潤w最大，
即A品牌臺燈55盞、B品牌臺燈45盞；

點(diǎn)評 本題考查了列分式方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，不等式組的運(yùn)用及一次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時求出一次函數(shù)的解析式并討論是關(guān)鍵，屬中檔題．