Question

17．如圖，已知AB=AC，∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)．求證：FA=FD且FA⊥FD．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AF到G使FG=AF，由F是BE的中點(diǎn)，得到BF=EF，推出△ABF≌△EFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=EG，∠B=∠FEG，根據(jù)四邊形和三角形的內(nèi)角和得到∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED，證得△ACD≌△GED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=GD，∠ADC=∠GDE根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AF⊥DF，根據(jù)等腰直角三形即可得到結(jié)論．

解答 解：延長(zhǎng)AF到G使FG=AF，
∵F是BE的中點(diǎn)，
∴BF=EF，
在△AFB與△EFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=FG}\\{∠AFB=∠EFG}\\{BF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△EFG，
∴AB=EG，∠B=∠FEG，
∵∠BAC=∠CDE=90°，
∴∠B+∠DEF+∠CAD+∠CDA=180°，
∵∠CAD+∠C+∠CDA=180°，
∴∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED，
在△ACD與△GED中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=GE}\\{∠C=∠GED}\\{CD=ED}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△GED，
∴AD=GD，∠ADC=∠GDE，
∵AF=GF，
∴AF⊥DF，
∵∠GDE+GDC=∠CDE=90°，
∴∠ADC+∠GDC=90°，
即∠ADG=90°，
∴AF=DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．