Question

如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．
下列四種說法：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC=90°，那么四邊形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四邊形AEDF是菱形．
其中，正確的有_______個．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：先由兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，根據(jù)DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF為平行四邊形，得出①正確；當(dāng)∠BAC=90°，根據(jù)推出的平行四邊形AEDF，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形可得出②正確；若AD平分∠BAC，得到一對角相等，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等又得到一對角相等，等量代換可得∠EAD=∠EDA，利用等角對等邊可得一組鄰邊相等，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出③正確；由AB=AC，AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AD平分∠BAC，同理可得四邊形AEDF是菱形，④正確，進(jìn)而得到正確說法的個數(shù)．
解答：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，選項①正確；
若∠BAC=90°，
∴平行四邊形AEDF為矩形，選項②正確；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四邊形AEDF為菱形，選項③正確；
若AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四邊形AEDF為菱形，選項④正確，
則其中正確的個數(shù)有4個．
故選D．
點評：此題考查了平行四邊形的定義，菱形、矩形的判定，涉及的知識有：平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形、矩形及菱形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．