【題目】如圖,將矩形ABCD沿AF折疊,使點D落在BC邊的點E處,過點E作EG∥CD交舡于點G,連接DG.
(1)求證:四邊形EFDG是菱形;
(2) 求證: ;
(3)若AG=6,EG=2,求BE的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)BE的長為.
【解析】(1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG,從而得到GD=DF,接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF;
(2)連接DE,交AF于點O.由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE,OG=OF=GF,接下來,證明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FOAF,于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系;
(3)過點G作GH⊥DC,垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG=4,然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長,然后再證明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長,最后依據(jù)BE=AD﹣GH求解即可.
解:(1)證明:∵GE∥DF,
∴∠EGF=∠DFG.
∵由翻折的性質(zhì)可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,
∴∠DGF=∠DFG.
∴GD=DF.
∴DG=GE=DF=EF.
∴四邊形EFDG為菱形.
(2)EG2=GFAF.
理由:如圖1所示:連接DE,交AF于點O.
∵四邊形EFDG為菱形,
∴GF⊥DE,OG=OF=GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,
∴△DOF∽△ADF.
∴,即DF2=FOAF.
∵FO=GF,DF=EG,
∴EG2=GFAF.
(3)如圖2所示:過點G作GH⊥DC,垂足為H.
∵EG2=GFAF,AG=6,EG=2,
∴20=FG(FG+6),整理得:FG2+6FG﹣40=0.
解得:FG=4,F(xiàn)G=﹣10(舍去).
∵DF=GE=2,AF=10,
∴AD==4.
∵GH⊥DC,AD⊥DC,
∴GH∥AD.
∴△FGH∽△FAD.
∴,即=.
∴GH=.
∴BE=AD﹣GH=4﹣=.
“點睛”本題考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用,解題應(yīng)用了矩形的性質(zhì),菱形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì),掌握矩形的性質(zhì)定理和相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
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【題目】某地電話撥號入網(wǎng)有兩種收費方式,用戶可以任選其一:
(A)計時制:0.05元/分;
(B)包月制:50元/月(限一部個人住宅電話上網(wǎng)).
此外,每一種上網(wǎng)方式都得加收通信費0.02元/分.
(1)某用戶某月上網(wǎng)的時間為分,請你用含的代數(shù)式分別寫出兩種收費方式下該用戶應(yīng)該支付的費用;
(2)如果某用戶一個月內(nèi)上網(wǎng)的時間為20小時,你認為采用哪種方式較為合算?
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【題目】(7分)某地政府急災(zāi)民之所需,立即組織12輛汽車,將A、B、C三種救災(zāi)物資共92噸一次性運往災(zāi)區(qū),甲、乙、丙三種車型的汽車分別運載A、B、C三種物資,每輛車按運載量滿裝物資。假設(shè)裝運A、B品種物資的車輛數(shù)分別為、,根據(jù)下表提供的信息解答下列問題:
車型 | 甲 | 乙 | 丙 |
汽車運載量(噸/輛) | 5 | 8 | 10 |
(1)裝運C品種物資車輛數(shù)為 輛(用含與的代數(shù)式表示);
(2)試求A、B、C三種物資各幾噸。
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【題目】有兩個事件,事件A:367人中至少有2人生日相同;事件B:拋擲一枚均勻的骰子,朝上的面點數(shù)為偶數(shù).下列說法正確的是( )
A.事件A、B都是隨機事件
B.事件A、B都是必然事件
C.事件A是隨機事件,事件B是必然事件
D.事件A是必然事件,事件B是隨機事件
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【題目】當(dāng)-ax<ay,x>-y,則a的值為( )
A. a=0 B. a<0 C. a>0 D. 任意有理數(shù)
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【題目】觀察下列各式及其驗證過程: 驗證: = ;
驗證: = = = ;
驗證: = ;
驗證: = = = .
(1)按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路,猜想4 的變形結(jié)果并進行驗證;
(2)針對上述各式反映的規(guī)律,寫出用n(n為任意自然數(shù),且n≥2)表示的等式,并給出證明.
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【題目】某藥品經(jīng)過兩次降價,每瓶零售價由100元降為81元.已知兩次降價的百分率都為x,那么x滿足的方程是( )
A.100(1+x)2=81
B.100(1﹣x)2=81
C.100(1﹣x%)2=81
D.100x2=81
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