Question

在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD中，邊AB=2，AD=1，且AB、AD分別在x軸、y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合，將矩形折疊，使點A落在邊DC上，設點A′是點A落在邊DC上的對應點．
（Ⅰ）當矩形ABCD沿直線y=-x+1折疊時（如圖1）．求點A′的坐標；
（Ⅱ）當矩形ABCD沿直線y=-

1

2

x+b折疊時（如圖2），求點A′的坐標和b的值；
（Ⅲ）當矩形ABCD沿直線y=kx+b折疊時，如果我們把折痕所在的直線與矩形的位置分為如圖3、4、5所示的三種情形，請你分別寫出每種情形時k的取值范圍（將答案直接填在每種情形下的橫線上），①k的取值范圍是（圖3）

 

；②k的取值范圍是（圖4）

 

；③k的取值范圍為（圖5）

 

．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）由矩形ABCD沿直線y=-x+1折疊，根據軸對稱的性質可得DA=DA′從而求得A′的坐標．
（Ⅱ） 矩形ABCD沿直線y=-

1

2

x+b折疊，可求得OE=b，OF=2b，AA′⊥EF，由于∠DOA′+∠A′OF=90°∠OFE+∠A′OF=90°，可得∠DOA′=∠OFE，進而求得△DOA′∽△OFE，可得A′的坐標及b的值．
（Ⅲ）根據圖象和矩形的邊長可直接得出k的取值范圍，在題中圖3：-2≤k≤-1；圖4中：-1≤k≤-2+

3

；圖5中：-2+

3

≤k≤0．

解答：解：（Ⅰ）如圖1直線y=-x+1與y軸交于點D（0，1）與OB交于的F（1，0），
故直線y=-x+1平分∠ODC
∵FA′⊥DC DO⊥OB
∴點A的坐標為（1，1）．
（Ⅱ）如圖2設直線y=

1

2

x+b與OD交于點E，與OB交于點F連接A′O，則OE=b，OF=2b，
設點A′的坐標為（a，1）
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A′OF=90°
∴∠DOA′=∠OFE，
在△DOA′與△OFE中，

∠DOA′=∠OFE ∠ODA′=∠EOF

   
∴△DOA′∽△OFE（AA）
∴

DA′

OE

=

OD

OF

即

a

b

=

1

2b

∴a=

1

2

∴點A′的坐標為（

1

2

，1）
連接A′E，則A′E-OE=b
在直角三角形DEA′中，根據勾股定理有A′E²=A′D²+DE²
即b²=（

1

2

）²+（1-b）²
解得b=

5

8

；
（Ⅲ）設直線y=kx+b與OD交于點E，與OB交于點F，連接A'O，則：
OE=b，OF=-

b

k

，
設點A′的坐標為（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A'OF=90度，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴

DA′

OE

=

DO

OF

，即

a

b

=

1

- b k

，
∴a=-k．
∴A′點的坐標為（-k，1）．（7分）
連接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b．
∵A′E²=A′D²+DE²，
∴b²=（-k）²+（1-b）²，
∴b=

k2+1

2

；
∴當對折線經過D時，k=-1，當對折線經過B時，k=-2+

3

，
∴在題中圖3中：-2≤k≤-1；
圖4中：-1≤k≤-2+

3

；
圖5中：-2+

3

≤k≤0．

點評：這是一道有關折疊的問題，主要考查一次函數、四邊形、相似形等知識，試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．